Variance Gamma từ con số 0
1/5Bản thân thời gian là ngẫu nhiên
Variance Gamma bắt đầu từ một ý tưởng táo bạo: thay vì thêm bước nhảy vào khuếch tán, hãy làm cho bản thân thời gian trở nên ngẫu nhiên. Chuyển động Brown chạy trên một đồng hồ ngẫu nhiên.
Chuyển động Brown thông thường dùng thời gian lịch: mỗi giây trôi qua đều đặn, không đổi. VG cho rằng thị trường có đồng hồ nội tại riêng — một quá trình gamma G(t) — đôi lúc chạy vọt lên trước, đôi lúc bò chậm. Khi đồng hồ chạy nhanh, chuyển động Brown nhận thêm “thời gian hiệu dụng” và tạo ra các biến động lớn. Khi đồng hồ chạy chậm, giá gần như không nhúc nhích.
Kết quả: đuôi dày xuất hiện một cách tự nhiên từ tính ngẫu nhiên của đồng hồ, mà không cần chỉ định rõ phân phối kích thước bước nhảy. Giai đoạn đồng hồ nhanh tạo ra các cụm biến động lớn. Giai đoạn chậm tạo ra sự tĩnh lặng kỳ lạ. Điều này khớp với hình ảnh thực tế của các sổ lệnh crypto mỏng — những khoảng dài không có gì, rồi đột ngột bùng nổ hoạt động.
G(t) — quá trình gamma với tốc độ trung bình 1 và tốc độ phương sai ν. Đây chính là đồng hồ ngẫu nhiên.
θ — độ trôi (drift) bên trong đồng hồ (tạo ra skew).
σ — vol khuếch tán bên trong đồng hồ.
Bên dưới, biểu đồ trên cùng hiển thị quá trình gamma G(t) — đồng hồ ngẫu nhiên. Đường đứt nét là thời gian lịch (đường chéo thẳng). Khi G(t) vượt lên trên đường chéo, thời gian đang chạy nhanh. Biểu đồ dưới hiển thị quá trình VG thu được — chuyển động Brown được tính tại thời gian ngẫu nhiên G(t).
Hãy tăng ν để làm đồng hồ trở nên thất thường hơn. Quan sát cách quá trình VG trở nên dữ dội hơn — biến động lớn hơn, tụ cụm nhiều hơn. Đó chính là cơ chế tạo đuôi dày.
Hãy hình dung một bộ phim có tốc độ phát thay đổi. Một số cảnh phát chậm (thị trường yên ắng). Một số cảnh tua nhanh (bán tháo hoảng loạn, chuỗi thanh lý dây chuyền). Cuốn phim gốc là chuyển động Brown thông thường. Nút điều chỉnh tốc độ là quá trình gamma. Những gì khán giả nhìn thấy — quá trình VG — đã hàm chứa toàn bộ kịch tính của các thay đổi tốc độ.
Ba tham số
VG có cách diễn giải tham số gọn gàng nhất trong mọi mô hình smile. Mỗi tham số ánh xạ đến đúng một mô-men thống kê. Không dư thừa, không đau đầu vì tương quan.
σ (sigma) — vol khuếch tán. Độ biến động của chuyển động Brown bên trong đồng hồ ngẫu nhiên. Điều khiển mức tổng thể của smile. σ cao hơn nâng toàn bộ lên. Đây là tham số tương đương với vol của Black-Scholes.
θ (theta) — drift trong chuyển động Brown bị đổi thời gian. Điều khiển skew. Nếu θ < 0, quá trình trôi xuống bên trong đồng hồ ngẫu nhiên, và smile bị nghiêng — cánh put dốc hơn cánh call. Nếu θ = 0, smile đối xứng.
ν (nu) — phương sai của thời gian gamma. Điều khiển độ nhọn vượt trội (độ dày của đuôi). ν cao hơn làm đồng hồ ngẫu nhiên hơn, tạo ra đuôi dày hơn và hai cánh dốc hơn ở cả hai phía. Đây là tham số phân biệt VG với Black-Scholes.
Ba thí nghiệm:
1. Set θ = 0, ν = 0.01. Smile gần như phẳng — sát với Black-Scholes. Đồng hồ gần như tất định.
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. Skew âm với độ nhọn vừa phải. Hình dạng smile kinh điển của crypto.
3. Set θ = 0, ν = 0.50. Đối xứng nhưng độ nhọn cực đoan. Cả hai cánh vọt lên. “Chế độ thiên nga đen.”
σ → phương sai (mô-men bậc 2). θ → độ lệch (mô-men bậc 3). ν → độ nhọn vượt trội (mô-men bậc 4). Đây là cách tách biệt hình dạng smile gọn gàng nhất trong mọi mô hình bước nhảy hay biến động ngẫu nhiên. Heston có 5 tham số với các tương quan lẫn nhau. VG có 3 điều khiển trực giao.
Nó thực ra là một quá trình nhảy thuần túy
Dù trông giống chuyển động Brown bị đổi thời gian (mượt + bị kéo giãn), các quỹ đạo VG về mặt kỹ thuật là thuần bước nhảy. Mọi biến động đều là một bước nhảy. Không có thành phần khuếch tán liên tục nào theo thời gian lịch.
Điều này khác Merton về mặt triết lý. Trong Merton, giá di chuyển mượt mà phần lớn thời gian (khuếch tán), thỉnh thoảng có bước nhảy lớn. Trong VG, mọi chuyển động đều gián đoạn. Quá trình có hoạt động vô hạn (vô số bước nhảy trong bất kỳ khoảng thời gian nào) nhưng biến phân hữu hạn (tổng kích thước bước nhảy bị chặn).
Hầu hết các bước nhảy đó rất nhỏ. Một số ít thì lớn. Trong giới hạn của rất nhiều bước nhảy nhỏ, quỹ đạo trông gần như liên tục — được xấp xỉ tốt bởi một đường cong mượt. Nhưng phóng to đủ gần thì mọi biến động về mặt kỹ thuật đều là bước nhảy. Không có hai mức giá liền kề nào được nối bởi một đường liên tục.
Biểu đồ bên trái hiển thị quỹ đạo VG vẽ dưới dạng hàm bậc thang — mỗi bước thời gian là một bước nhảy riêng biệt. Biểu đồ bên phải hiển thị quỹ đạo Merton với khuếch tán mượt giữa các bước nhảy lớn hiếm hoi (vạch đỏ). Nhấn Tạo lại và so sánh:
VG: liên tục các bước nhảy nhỏ, thỉnh thoảng có bước nhảy lớn. Không có đoạn mượt nào. Quỹ đạo dao động ở mọi nơi.
Merton: các đoạn mượt dài bị gián đoạn bởi những bước nhảy thẳng đứng đột ngột. Hai chế độ khác biệt rõ rệt (yên ắng vs cú sốc).
Trong một thế giới thuần bước nhảy, phòng hộ delta là không hoàn hảo ngay từ cấu trúc — bạn không thể giao dịch liên tục vì bản thân giá là gián đoạn. Điều này thực ra trung thực hơn Merton, vốn tuyên bố rằng bạn có thể hedge hoàn hảo phần khuếch tán và chỉ những bước nhảy hiếm mới không hedge được. Trong các sổ lệnh crypto mỏng, mỗi lệnh khớp thực chất là một bước nhảy. VG thừa nhận thực tế đó.
Hàm đặc trưng
VG có hàm đặc trưng dạng đóng gọn gàng. Đây là điều khiến việc định giá bằng Fourier trở nên khả thi — bạn có thể định giá quyền chọn kiểu Âu nhanh và chính xác mà không cần Monte Carlo.
σ xuất hiện qua số hạng u² (đóng góp phương sai).
θ xuất hiện qua số hạng iu (skew qua phần ảo).
ν xuất hiện qua số mũ −T/ν và trong cơ số (độ nhọn).
When ν → 0: the exponent → −∞, và hàm đặc trưng hội tụ về hàm đặc trưng lognormal của BS. VG bao chứa BS như một trường hợp giới hạn.
Quy trình định giá: lấy hàm đặc trưng này, đưa vào công thức Carr-Madan (1999) hoặc phương pháp COS, rồi áp dụng biến đổi Fourier nhanh. Bạn nhận được giá quyền chọn trên toàn bộ các mức giá thực hiện trong một lần tính — không cần tính riêng từng strike, không có nhiễu mô phỏng.
Số mũ −T/ν là âm và càng âm khi T tăng. Điều này nghĩa là hàm đặc trưng suy giảm nhanh hơn với kỳ hạn dài hơn, tương ứng với việc smile của VG phẳng dần theo thời gian. Tính ngẫu nhiên của đồng hồ được trung bình hóa qua các chân trời dài — một hiệu ứng cấu trúc kỳ hạn tự nhiên.
VG trong thực tế
VG không phải là mặc định của ngành — Bates (Heston + bước nhảy) thống trị các bàn giao dịch cổ phiếu và crypto. Nhưng ý tưởng phụ thuộc (subordination) của VG xuất hiện ở khắp mọi nơi, và mô hình có những ngóc ngách cụ thể.
Phái sinh tín dụng: VG ban đầu phổ biến trong mô hình hóa tín dụng. Vỡ nợ là một sự kiện nhảy. Bản chất nhảy thuần túy của VG xử lý gọn gàng các payoff không liên tục. Madan, Carr, và Chang (1998) đã giới thiệu VG một phần với tín dụng trong tâm trí.
Quyền chọn exotic trên cổ phiếu với yêu cầu smile đơn giản: Khi bạn cần khớp smile bằng 3 tham số với cách diễn giải mô-men rõ ràng, VG rất khó bị vượt qua. Hiệu chỉnh nhanh vì mỗi tham số có tác động rõ ràng, không mơ hồ.
Crypto trên các cặp thanh khoản mỏng: các cặp crypto kém thanh khoản không khuếch tán một cách trơn tru — chúng gap từ giá này sang giá khác khi các lệnh được khớp. Đặc tính nhảy thuần túy của VG là một mô tả trung thực hơn về hành động giá đó so với bất kỳ mô hình khuếch tán nào.
Ý tưởng đổi thời gian (subordination): khái niệm thay thế thời gian lịch bằng đồng hồ ngẫu nhiên là nền tảng. Nó xuất hiện trong đồng hồ ngẫu nhiên, mô hình thời gian giao dịch, mô hình dựa trên hoạt động, và CGMY (một tổng quát hóa của VG). Ngay cả khi bạn không bao giờ định giá quyền chọn bằng VG, hiểu về đổi thời gian giúp mọi mô hình khác trở nên rõ ràng hơn.
Black-Scholes: smile phẳng. Quỹ đạo liên tục. 1 tham số.
Merton: smile từ các bước nhảy lớn hiếm hoi. Khuếch tán mượt + bước nhảy Poisson. 4 tham số.
Kou: smile từ các bước nhảy bất đối xứng. Điều khiển hai cánh độc lập. 5 tham số.
Variance Gamma: smile từ đồng hồ ngẫu nhiên. Thuần bước nhảy, không khuếch tán. 3 tham số, mỗi tham số một mô-men.
Heston: smile từ vol ngẫu nhiên. Quỹ đạo liên tục. 5 tham số.
Bates: Heston + bước nhảy Merton. Mô hình chủ lực. 8 tham số.
Học tiếp ở đâu:
Mô hình Merton Jump-Diffusion — khuếch tán + bước nhảy lớn hiếm hoi
Mô hình Kou Jump-Diffusion — bước nhảy bất đối xứng với hai cánh độc lập
Mô hình Heston — vol ngẫu nhiên, cách tiếp cận khác cho smile
Mô hình Bates — Heston + bước nhảy: mô hình chủ lực của ngành