Vanna-Volga từ con số 0
1/5Ba quyền chọn thanh khoản định giá tất cả
Vanna-Volga dùng đúng ba báo giá thị trường để dựng nên toàn bộ đường smile: 25Δ put, straddle ATM, và 25Δ call. Đó là toàn bộ đầu vào. Mọi thứ khác đều được suy ra.
Trên thị trường FX, các dealer không báo giá quyền chọn theo giá strike. Họ báo ba con số:
ATM vol (σATM). Biến động của straddle hòa vốn (ATM). Con số này xác định mức tổng thể của smile.
25Δ risk reversal (RR). Chênh lệch giữa vol của call 25-delta và vol của put 25-delta. Con số này nắm bắt skew -- mức độ nghiêng của smile.
25Δ butterfly (BF). Trung bình vol của put và call 25-delta trừ đi vol ATM. Con số này nắm bắt độ cong -- mức độ hai cánh nâng lên trên ATM.
Từ ba con số này, bạn có thể khôi phục từng mức vol riêng lẻ:
Phương pháp Vanna-Volga lấy ba điểm tham chiếu thanh khoản này và dựng nên smile hoàn chỉnh bằng cách hỏi: cách rẻ nhất để phòng hộ rủi ro smile của bất kỳ quyền chọn mục tiêu nào bằng ba công cụ này là gì?
Hãy hình dung ATM, RR và BF như ba núm vặn trên bàn mixer. ATM là âm lượng tổng. RR là núm cân bằng (trái - phải). BF là núm tăng âm (cả hai bên). Ba núm vặn, một đường smile.
Vanna và volga là gì?
Vanna và volga là hai Greek bậc hai mà Black-Scholes giả vờ không tồn tại. Chúng đo độ nhạy với rủi ro smile -- hiệu ứng chéo giữa giá giao ngay và vol (vanna) và độ lồi theo vol (volga).
Vanna = ∂²V / ∂S∂σ. Đây là độ nhạy của delta với thay đổi của vol, hay tương đương, độ nhạy của vega với thay đổi của giá giao ngay. Khi vol biến động, delta dịch chuyển. Khi giá giao ngay biến động, vega dịch chuyển. Cả hai hiệu ứng đều là vanna.
Vanna lớn nhất gần ATM và phản đối xứng quanh giá forward. Với put (cánh trái), vanna dương: khi vol tăng, delta của put trở nên âm hơn (sâu hơn trong tiền theo không gian xác suất). Với call (cánh phải), vanna âm.
Volga = ∂²V / ∂σ². Đây là gamma của vol -- độ lồi của giá quyền chọn theo vol. Quyền chọn có volga dương hưởng lợi khi vol biến động theo bất kỳ hướng nào.
Volga lớn nhất ở hai cánh và đối xứng quanh giá forward. Put OTM sâu và call OTM sâu đều có volga dương lớn. Quyền chọn ATM có volga gần bằng 0.
Biểu đồ trên cho thấy hai đường profile theo các mức giá strike. Black-Scholes giả định smile phẳng, nên định giá mức phơi nhiễm vanna và volga với chi phí bằng 0. Nhưng trong thị trường thực có smile, nắm giữ phơi nhiễm vanna và volga không hề miễn phí -- nó có chi phí, và chi phí đó chính là phần điều chỉnh smile mà Vanna-Volga tính ra.
Delta và gamma là hiệu ứng bậc nhất mà Black-Scholes xử lý được. Vega là độ nhạy bậc nhất theo vol mà BS cũng xử lý được (dù mô hình giả định vol không đổi, nó vẫn có vega). Các hiệu ứng vol bậc hai -- delta thay đổi theo vol như thế nào (vanna) và vega thay đổi theo vol như thế nào (volga) -- chính là những gì smile mã hóa. Smile không gì khác hơn là cách thị trường định giá rủi ro vanna và volga.
Lập luận sao chép danh mục
Đây là ý tưởng cốt lõi: xây dựng một danh mục gồm ba quyền chọn benchmark thanh khoản sao cho khớp vanna và volga của quyền chọn mục tiêu. Chi phí của danh mục phòng hộ này -- phần vượt trên giá trị Black-Scholes của nó -- chính là phần hiệu chỉnh smile.
Bắt đầu với một quyền chọn mục tiêu tại giá strike K bất kỳ. Tính vanna và volga của nó theo Black-Scholes (dùng vol ATM). Giờ tìm các trọng số (x₁, x₂, x₃) cho ba quyền chọn benchmark sao cho:
Khi đã có các trọng số, giá VV là:
Kéo giá strike mục tiêu trong widget phía trên. Quan sát cách các trọng số sao chép thay đổi:
Mục tiêu gần 25Δ put: Gần như toàn bộ trọng số dồn vào benchmark put. Benchmark ATM và call đóng góp rất ít.
Mục tiêu gần ATM: Benchmark ATM chiếm ưu thế. Phần hiệu chỉnh nhỏ vì BS gần như chính xác tại ATM.
Mục tiêu nằm giữa các benchmark: Các trọng số nội suy mượt mà. Smile tại bất kỳ giá strike trung gian nào là tổ hợp có trọng số của ba điểm tham chiếu.
Công thức
Khi giải tường minh các trọng số sao chép, phần hiệu chỉnh VV tách gọn thành hai số hạng: hiệu chỉnh vanna tạo ra skew và hiệu chỉnh volga tạo ra độ cong.
Số hạng volga: tỷ lệ với butterfly. Đối xứng -- cộng đều vào cả hai cánh.
Phân rã này chính là lý do phương pháp được gọi là Vanna-Volga. Toàn bộ phần hiệu chỉnh smile được giải thích bởi hai hiệu ứng:
Hiệu chỉnh vanna phản đối xứng quanh ATM. Nó được dẫn dắt bởi báo giá risk reversal. Khi thị trường báo RR âm lớn (put đắt hơn call), hiệu chỉnh vanna làm smile nghiêng sang trái. Với put OTM sâu, phần hiệu chỉnh lớn nhất và dương (cộng thêm premium). Với call OTM sâu, nó âm (trừ bớt premium).
Hiệu chỉnh volga đối xứng quanh ATM. Nó được dẫn dắt bởi báo giá butterfly. Khi thị trường báo BF lớn, hiệu chỉnh volga nâng cả hai cánh lên. ATM không bị ảnh hưởng (volga gần bằng 0 tại đó). Càng đi sâu ra hai cánh, phần hiệu chỉnh càng lớn.
Biểu đồ cột chồng phía trên hiển thị cả hai phần hiệu chỉnh theo các mức giá strike. Lưu ý:
Các cột màu xanh dương (vanna) âm ở bên trái và dương ở bên phải -- đây là thành phần skew.
Các cột màu cam (volga) dương ở khắp hai cánh -- đây là thành phần độ cong.
Đường màu xanh lá là tổng hiệu chỉnh. Ở phía put, vanna và volga cộng hưởng với nhau (cả hai đều cộng thêm premium). Ở phía call, chúng triệt tiêu một phần (vanna trừ, volga cộng). Đây là lý do cánh put thường dốc hơn cánh call.
Bàn giao dịch FX yêu thích nó, bàn cổ phiếu thì không
Vanna-Volga là mô hình smile chủ đạo trong thị trường ngoại hối vì thị trường FX báo giá trực tiếp bằng ATM, RR và BF. Đầu vào của mô hình chính là ngôn ngữ gốc của thị trường. Với cổ phiếu và crypto, thị trường báo giá trực tiếp theo giá strike, và giả định ba điểm của VV quá cứng nhắc.
Vì sao FX yêu thích nó: Thị trường quyền chọn FX liên ngân hàng đã chuẩn hóa quy ước báo giá ánh xạ trực tiếp vào đầu vào của Vanna-Volga. Dealer nhìn thấy ATM = 8.2, RR = -1.3, BF = 0.4 và có ngay ba mức vol cần cho VV. Không cần bước hiệu chỉnh mô hình. Không cần bộ tối ưu. Chỉ là đại số.
Với quyền chọn vanilla FX tại các mức delta chuẩn, VV nhanh, chính xác, và không có arbitrage. Với các sản phẩm exotic thế hệ đầu (one-touch, double no-touch), VV cho giá nhanh gọn nhưng sát đến bất ngờ với kết quả của mô hình đầy đủ.
Vì sao cổ phiếu/crypto thì không: Quyền chọn cổ phiếu niêm yết và crypto cung cấp cả lưới giá đầy đủ trên nhiều giá strike và ngày đáo hạn. Bạn có nhiều hơn hẳn ba điểm dữ liệu. Khớp một mô hình ba tham số vào ba mươi mức giá strike là vứt bỏ thông tin.
Tệ hơn, smile VV không đủ linh hoạt để khớp các hình dạng thực tế trong thị trường cổ phiếu và crypto. Skew ngắn hạn dốc, độ lồi cánh thay đổi theo ngày đáo hạn, cấu trúc kỳ hạn của butterfly -- không cái nào được nắm bắt bởi ba con số.
Trong các thị trường đó, SVI, SSVI, hoặc SLV là lựa chọn tốt hơn vì chúng có thể hấp thụ toàn bộ độ phong phú của bề mặt quan sát được.
Ngay cả ở những bàn giao dịch không dùng VV để định giá thực tế, nó vẫn có giá trị như một mô hình tư duy. "Quyền chọn này đắt hơn BS vì vanna và volga" là một lời giải thích trọn vẹn cho việc tại sao smile tồn tại. Việc phân rã thành skew (vanna) và độ cong (volga) giúp trader suy luận về điều gì dẫn dắt giá của bất kỳ quyền chọn nào -- ngay cả khi việc định giá thực tế dùng mô hình tinh vi hơn.
Mở rộng: Phương pháp VV cơ bản dùng benchmark 25-delta. Một số bàn giao dịch mở rộng lên năm điểm (thêm put và call 10-delta) để nắm bắt hành vi cánh tốt hơn. Số khác dùng "VV bậc hai" bao gồm các Greek bậc cao hơn. Nhưng đến mức đó, bạn đang xây một mô hình phức tạp hơn và tốt nhất là dùng SVI luôn.
Trong crypto: Khung VV đôi khi được dùng để nhẩm nhanh -- "put OTM này nên có giá bao nhiêu với RR và BF của thị trường?" -- nhưng nó không phải mô hình dùng cho định giá thực tế. Bề mặt biến động crypto quá nhiễu và quá dốc cho phép nội suy ba điểm. Giá trị của nó nằm ở khái niệm, không phải vận hành.
Đọc tiếp:
Black-Scholes -- mô hình cơ sở mà VV điều chỉnh
Tài liệu tham khảo về Greeks -- trình bày đầy đủ về vanna, volga và các độ nhạy bậc hai khác
Tham số hóa SVI -- phương án theo giá strike thay thế cho smile cổ phiếu/crypto
Stochastic Local Vol -- mô hình định giá exotic dùng trong thực tế