SVI từ con số 0

1/5

Phần 1

SVI là gì?

SVI là viết tắt của Stochastic Volatility Inspired. Đây là công thức 5 tham số mô tả hình dạng của volatility smile tại một ngày đáo hạn duy nhất.

Hầu hết các mô hình smile hoạt động trong không gian biến động ngụ ý (IV). SVI thì khác: nó tham số hóa tổng phương sai ngụ ý như một hàm của log-moneyness. Nghe có vẻ vòng vèo, nhưng cách này khiến các ràng buộc không-arbitrage trở nên cực kỳ đơn giản.

Công thức như sau:

Tổng phương sai SVI

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

Kéo các thanh trượt bên dưới để xem đường tổng phương sai thay đổi thế nào. Trục x là log-moneyness (âm = put OTM, dương = call OTM). Trục y là tổng phương sai ngụ ý.

Tổng phương sai w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Tại sao lại là “tổng phương sai”?

Black-Scholes dùng biến động ngụ ý (σ_imp). Nhưng vol phụ thuộc vào cả hình dạng smile lẫn thời gian đến ngày đáo hạn. Tổng phương sai w = σ_imp² · T tách yếu tố thời gian ra, để lại một đại lượng tăng đơn điệu theo kỳ hạn. Tính đơn điệu này chính là điều bạn cần để đảm bảo không có calendar arbitrage.

Phần 2

5 tham số

Mỗi tham số điều khiển một khía cạnh hình học của smile. Hãy lần lượt bấm qua từng tham số và quan sát điều gì thay đổi.

Đường đứt nét là đường cơ sở (một smile put-skew điển hình). Đường liền màu cho thấy điều gì xảy ra khi bạn thay đổi tham số được tô sáng. Mọi thứ khác giữ nguyên.

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

Mặc định: 0.040Nét đứt = đường cơ sở

Hành vi của hai cánh: ở xa ATM, smile tiệm cận các đường thẳng. Độ dốc cánh put là b(1 − ρ) và độ dốc cánh call là b(1 + ρ). Với put skew điển hình (ρ < 0), cánh trái dốc hơn.

Độ dốc tiệm cận

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

Các cánh tuyến tính, bị chặn này là một trong những ưu điểm then chốt của SVI. Smile không bao giờ ngoại suy đến các giá trị phi lý.

Phần 3

Từ phương sai đến vol

SVI cho bạn tổng phương sai w(k). Smile IV quen thuộc chỉ cách đó một phép khai căn.

Từ phương sai sang IV

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

Chia tổng phương sai cho thời gian đến ngày đáo hạn, rồi lấy căn bậc hai. Kết quả là biến động ngụ ý tại mỗi giá thực hiện.

Bên dưới, cả hai đường cong được tạo từ cùng một bộ tham số SVI. Bảng bên trái hiển thị tổng phương sai (không gian mà SVI hoạt động). Bảng bên phải hiển thị smile biến động ngụ ý (không gian mà trader tư duy). Kéo các thanh trượt và quan sát cả hai cập nhật đồng thời.

Tổng phương sai w(k)

Biến động ngụ ý (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Lưu ý rằng đường phương sai mượt hơn và có dạng “chữ V” rõ hơn đường vol. Phép khai căn nén các giá trị lớn và kéo giãn các giá trị nhỏ, khiến smile vol trông bo tròn hơn.

Vì sao điều này quan trọng với người làm thực tế: khi khớp SVI, bạn tối ưu trong không gian phương sai (nơi công thức tồn tại), nhưng đánh giá chất lượng khớp bằng cách xem phần dư IV (nơi trader yết giá).

Phần 4

Ràng buộc không-arbitrage

Không phải mọi tổ hợp tham số SVI đều hợp lệ. Một số tạo ra smile vi phạm điều kiện không-arbitrage. Dùng widget bên dưới để tìm ranh giới.

Có ba ràng buộc then chốt. Khi bất kỳ ràng buộc nào bị vi phạm, sẽ tồn tại cơ hội lợi nhuận phi rủi ro — nghĩa là smile đó không thể là giá rủi ro thực sự của thị trường.

Ràng buộc butterfly

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

Ngăn phương sai cục bộ âm. Nếu ràng buộc này bị vi phạm, butterfly spread có chi phí âm — tiền miễn phí.

Giá trị nhỏ nhất không âm

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

Điểm thấp nhất của smile phải nằm trên 0. Tổng phương sai âm là điều không thể về mặt vật lý.

Công thức moment của Roger Lee

b(1 + |ρ|) ≤ 2

Giới hạn tốc độ tăng của hai cánh. Trên thực tế, ràng buộc butterfly chặt hơn đối với quyền chọn kỳ hạn ngắn.

Hãy thử các cấu hình mẫu bên dưới, rồi kéo các thanh trượt để thấy các ranh giới. Đường cong chuyển sang màu đỏ khi bất kỳ ràng buộc nào bị vi phạm.

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

Không có arbitrage — đường smile này an toàn

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

Phần 5

Hiệu chỉnh (Calibration)

Từ các mức biến động ngụ ý quan sát trên thị trường, hãy tìm 5 tham số SVI tái tạo chúng tốt nhất. Thử tự tay làm nhé.

Các vòng tròn màu cam là các mức giá yết thị trường mô phỏng — một smile BTC thực tế tại 30 DTE. Đường màu xanh lá là kết quả khớp SVI. Các đường thẳng đứng thể hiện phần dư (sai số) tại mỗi điểm.

Điều chỉnh các thanh trượt để tối thiểu hóa RMSE. Bấm “Show best fit” để xem một bộ tham số gần tối ưu.

RMSE44.82%(Kém)

Đường khớp SVIDữ liệu thị trườngPhần dư

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

Trong thực tế: một bộ tối ưu số (Levenberg-Marquardt hoặc SLSQP) thực hiện việc này trong chưa đến 10 ms cho mỗi ngày đáo hạn. Bộ tối ưu tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư có trọng số trong khi tuân thủ các ràng buộc arbitrage ở Phần 4.

Khởi tạo rất quan trọng: một giá trị khởi đầu xấu có thể khiến bộ tối ưu mắc kẹt tại cực tiểu cục bộ. Cách phổ biến: đặt a từ phương sai ATM, b từ độ dốc cánh quan sát được, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1.

Tiếp theo nên xem gì:

Trang tham khảo SVI — bảng tham số đầy đủ, chi tiết khớp mô hình, các biến thể

ORC Wing (Jump-Wing) — SVI được tham số hóa lại cho trader

SSVI — mở rộng SVI ra toàn bộ bề mặt biến động