Stochastic Local Vol từ con số 0
1/5Local vol cho giá đúng nhưng động lực học sai
Mô hình biến động cục bộ của Dupire làm được một điều đáng chú ý: nó hiệu chỉnh hoàn hảo với mọi giá quyền chọn vanilla trên thị trường, đồng thời. Sai số hiệu chỉnh bằng không. Điểm mấu chốt là những gì xảy ra tiếp theo.
Local vol gán một mức biến động duy nhất σ(S, t) cho mỗi mức giá spot và mỗi thời điểm. Với bề mặt giá quyền chọn vanilla quan sát được, tồn tại đúng một hàm local vol tái tạo tất cả các mức giá đó. Việc xây dựng là tất định -- không cần tối ưu hóa, không có sai số dư.
Vậy điều gì sai? Chính là động lực học. Local vol dự đoán smile sẽ biến đổi thế nào khi spot dịch chuyển, và dự đoán đó sai nghiêm trọng.
Khi spot giảm 5%, local vol cho rằng smile sẽ phẳng lại ở cánh trái. Mô hình đọc mức spot thấp hơn và tra vào một lát cắt khác của σloc, vốn tình cờ phẳng hơn ở đó. Nhưng trên thị trường thực, điều ngược lại xảy ra: đợt bán tháo 5% khiến smile dốc lên vì biến động thực tế đang tăng và nhu cầu phòng hộ rủi ro giảm giá đang tăng lên.
Local vol là một bức ảnh chụp hoàn hảo của smile hôm nay. Nhưng những bức ảnh không di chuyển. Khi giao ngay dịch chuyển, local vol dự đoán smile mới bằng cách tra cứu một cột khác trong cùng một bảng tĩnh. Trong khi đó, thị trường đã định giá lại toàn bộ bảng.
Điều này quan trọng với quyền chọn exotic. Một quyền chọn rào cản phụ thuộc vào hình dạng smile khi spot ở gần rào cản -- không chỉ hình dạng hôm nay. Nếu mô hình của bạn dự đoán sai smile tương lai, nó định giá rào cản sai và hedge sai.
Stochastic vol cho động lực học đúng nhưng giá sai
Heston, SABR, và các mô hình họ hàng của chúng coi biến động là một biến ngẫu nhiên với quá trình ngẫu nhiên riêng của nó. Điều này tạo ra sự tiến hóa smile thực tế: khi giao ngay giảm, biến động tăng, và smile dốc hơn. Nhưng độ khớp với giá vanilla hôm nay chỉ ở mức xấp xỉ tốt nhất.
Một mô hình như Heston có năm tham số tự do. Năm con số không thể đồng thời khớp hàng trăm giá quyền chọn quan sát được trên mọi giá strike và ngày đáo hạn. Kết quả khớp luôn là sự thỏa hiệp -- khá tốt gần ATM, kém dần ở hai cánh.
Bạn có thể thêm tham số (double Heston, Bates có bước nhảy) nhưng không bao giờ khép kín hoàn toàn khoảng cách. Luôn còn sai số hiệu chỉnh dư. Với việc định giá vanilla và tạo lập thị trường, sai số dư đó là tiền bị bỏ lại trên bàn.
Ba bảng phía trên kể câu chuyện. Sau khi spot giảm 5%:
Local vol dự đoán smile phẳng lại -- sai.
Stochastic vol dự đoán smile dốc hơn -- đúng, nhưng lưu ý rằng ngay từ đầu nó đã không khớp hoàn hảo với smile hôm nay.
SLV đạt cả hai: khởi đầu từ mức khớp hoàn hảo hôm nay và biến đổi một cách thực tế.
Nếu bạn đang báo giá vanilla, local vol thắng -- nó định giá chính xác. Nếu bạn quan tâm sổ vị thế của mình hành xử thế nào khi spot dịch chuyển, stochastic vol thắng -- nó dự đoán các Greek thực tế. Với định giá exotic, bạn cần cả hai. Đó là lúc SLV xuất hiện.
SLV kết hợp cả hai
Stochastic local vol vận hành hai động cơ song song. Thành phần local vol lo việc hiệu chỉnh. Thành phần ngẫu nhiên bổ sung động lực học thực tế. Tỷ lệ pha trộn α kiểm soát sự pha trộn.
Second line: L tuân theo quá trình khuếch tán riêng của nó, được điều khiển bởi vol-of-vol ν.
Special cases: khi ν = 0, L mang tính tất định và bạn thu về local vol thuần túy. Khi σloc là hằng số, bạn thu về stochastic vol thuần túy. Tỷ lệ trộn α kiểm soát bao nhiêu phần trong tổng phương sai đến từ mỗi thành phần.
Trực giác: σloc(S, t) là hàm Dupire vốn đã hiệu chỉnh khớp với thị trường. Nhân với một L ngẫu nhiên làm nhiễu động lực học mà không phá vỡ hiệu chỉnh -- miễn là L được hiệu chỉnh sao cho nhiễu động triệt tiêu khi lấy trung bình. Việc hiệu chỉnh L đó chính xác là điều hàm đòn bẩy làm.
Tỷ lệ trộn α (thường được nhúng trong tham số vol-of-vol) quyết định bao nhiêu tính ngẫu nhiên đi vào L so với phần giữ lại trong σloc. Ở một cực đoan (α = 0), toàn bộ phương sai được giải thích bởi local vol và động lực của smile mang tính tất định. Ở cực đoan còn lại (α = 1), local vol phẳng và quá trình ngẫu nhiên điều khiển mọi thứ.
Kéo thanh trượt phía trên. Quan sát smile tương lai được dự đoán:
α = 0 (local vol thuần túy): Smile tương lai hầu như không dịch chuyển so với hôm nay. Cánh trái phẳng lại đôi chút. Đây là bệnh lý của local vol.
α = 1 (stochastic vol thuần túy): Smile tương lai dốc lên mạnh. Vol nhảy vọt trên toàn bộ dải giá. Điều này thực tế nhưng có thể điều chỉnh quá mức.
α = 0.5 (cân bằng): Một điểm trung dung. Smile dốc lên nhưng vừa phải. Đây là nơi hầu hết các hiệu chỉnh trong thực tế sản xuất hạ cánh.
Hàm đòn bẩy
L(S, t) là chất keo hiệu chỉnh. Nó được tính sao cho biến động cục bộ kỳ vọng -- lấy trung bình trên mọi đường đi ngẫu nhiên -- khớp với thị trường. Khi pha trộn cân bằng, L ở gần 1 khắp mọi nơi. Khi một thành phần chiếm ưu thế, L phải làm việc vất vả hơn.
Về mặt hình thức, L(S, t) được định nghĩa bởi điều kiện:
Trong thực tế, L được tính bằng số học, dùng hoặc PDE tiến (Fokker-Planck) hoặc phương pháp hạt (Monte Carlo kèm ước lượng mật độ). PDE tiến lan truyền mật độ đồng thời của (S, L) tiến theo thời gian và trích xuất L tại mỗi điểm lưới. Phương pháp hạt mô phỏng nhiều đường đi, gom nhóm theo mức spot, và giải L trong từng nhóm.
Điểm mấu chốt: khi α gần 0.5, L gần bằng 1 ở mọi nơi vì cả hai thành phần chia sẻ tải trọng đồng đều. Khi α gần 0 hoặc 1, L phát triển cấu trúc -- các đỉnh ở phần cánh, các thung lũng gần ATM -- vì một thành phần đang làm gần như toàn bộ công việc và L phải bù trừ.
Bản đồ nhiệt phía trên hiển thị L(S, t) theo spot và thời gian. Kéo thanh trượt pha trộn và quan sát:
Cân bằng (α ≈ 0.5): Màu tối đồng nhất. L xấp xỉ 1 khắp mọi nơi. Cả hai thành phần đóng góp như nhau. Đây là điểm vận hành lý tưởng.
Local-vol chiếm ưu thế (α ≈ 0): L xuất hiện các vùng nóng (cam/đỏ) ở hai cánh. Thành phần ngẫu nhiên có rất ít phương sai riêng, nên L phải gánh vác nặng nề để khớp thị trường.
Stoch-vol chiếm ưu thế (α ≈ 1): L xuất hiện các vùng lạnh (xanh dương). Thành phần ngẫu nhiên vượt mức ở một số vùng và L phải kéo nó lại.
Chuẩn mực định giá exotic
SLV là thứ các ngân hàng lớn thực sự vận hành cho quyền chọn rào cản, Asian và cliquet. Nó là chuẩn mực sản xuất vì là mô hình duy nhất vừa hiệu chỉnh khớp vanilla vừa cho ra giá exotic có thể bảo vệ được.
Rào cản. Quyền chọn knock-out mất hiệu lực khi spot chạm rào cản. Giá trị của nó phụ thuộc then chốt vào hình dạng smile gần mức rào cản. Local vol cho smile sai ở đó. Stochastic vol cho động lực học đúng nhưng giá khởi điểm sai. SLV đạt cả hai -- và giá rào cản thu được có thể khác local vol vài phần trăm giá trị danh nghĩa.
Asian. Quyền chọn Asian lấy trung bình spot trong một khoảng thời gian. Việc lấy trung bình làm giảm tác động của động lực học smile, nên chênh lệch giữa SLV và local vol nhỏ hơn ở đây. Nhưng vẫn khác không, và các bàn giao dịch với giá trị danh nghĩa lớn vẫn quan tâm.
Cliquet. Các quyền chọn khởi động về sau (forward-starting) mà đặt lại theo chu kỳ. Chúng cực kỳ nhạy cảm với smile tương lai -- smile sẽ trông như thế nào tại mỗi ngày đặt lại. Lợi thế của SLV là lớn nhất ở đây bởi vì cliquet về cơ bản là một cược vào động lực học của smile.
SLV không miễn phí. Hàm đòn bẩy phải được tính lại mỗi khi tham số stochastic vol thay đổi, khiến hiệu chỉnh trở thành quy trình lặp: khớp tham số stochastic vol, tính L, kiểm tra độ khớp vanilla, điều chỉnh, lặp lại. Vòng lặp ngoài này tốn kém về tính toán và đưa vào rủi ro mô hình trong việc chọn α.
Việc lựa chọn tỷ lệ trộn bản thân nó là một quyết định mang tính phán đoán. Các giá trị α khác nhau tạo ra các mức giá exotic khác nhau trong khi vẫn khớp với cùng các vanilla. Các ngân hàng thường thiết lập α bằng cách hiệu chỉnh theo các giao dịch exotic có thanh khoản (chẳng hạn như barrier reversal trong FX) hoặc bằng phán đoán chuyên gia về mức độ quan trọng của động lực smile đối với danh mục của họ.
Rủi ro mô hình. Tỷ lệ pha trộn là tham số rủi ro mô hình quan trọng nhất trong định giá exotic sản xuất. Hai bàn giao dịch dùng SLV với các giá trị α khác nhau sẽ đồng thuận trên mọi vanilla nhưng bất đồng về giá rào cản. Đây không phải lỗi -- nó phản ánh sự bất định thực sự về cách smile sẽ biến đổi.
Trong crypto: SLV ít phổ biến hơn vì thị trường exotic nhỏ hơn và bản thân bề mặt vanilla cũng nhiễu. Hầu hết các bàn giao dịch crypto dùng SVI hoặc SSVI để khớp bề mặt và dùng local vol hoặc mô phỏng trực tiếp cho các sản phẩm phụ thuộc đường đi. Khi thị trường quyền chọn crypto trưởng thành, SLV sẽ trở nên phù hợp hơn.
Nên đi tiếp đến đâu:
Local Volatility -- mô hình Dupire một cách chi tiết
Heston Model -- động cơ stochastic vol phổ biến nhất bên trong SLV
SABR Model -- stochastic vol không có hồi quy về trung bình, phổ biến trong thị trường lãi suất
Vanna-Volga -- cách dựng smile đơn giản hơn từ ba báo giá thị trường