SSVI từ con số 0

1/4

Phần 1

Từ SVI đến SSVI

SVI khớp một đường smile biến động tại một ngày đáo hạn duy nhất. Nó làm điều đó rất tốt -- năm tham số, hình dạng gọn gàng. Nhưng bề mặt biến động có nhiều ngày đáo hạn xếp chồng lên nhau. Khớp từng lát cắt độc lập sẽ tạo ra vấn đề.

Khi bạn khớp mỗi lát cắt với các tham số SVI riêng của nó, không có gì đảm bảo rằng tổng phương sai tăng từ ngày đáo hạn này sang ngày tiếp theo tại mọi giá thực hiện. Nếu không, bạn có một arbitrage calendar spread -- một giao dịch kiếm tiền phi rủi ro: bán quyền chọn ngắn hạn và mua quyền chọn dài hạn.

SSVI giải quyết điều này bằng cách xây dựng toàn bộ bề mặt từ một tham số hóa duy nhất. Thay vì 5 tham số cho mỗi lát cắt, toàn bộ bề mặt được điều khiển bởi:

Hai thành phần then chốt

θ(t) = tổng phương sai ATM tại thời điểm t

φ(θ) = hàm skew ATM (điều khiển độ dốc của smile)

θ(t) được quan sát trực tiếp từ giá quyền chọn ATM. φ(θ) mã hóa cách hình dạng smile thay đổi theo kỳ hạn. Kết hợp với một tham số skew duy nhất ρ, chúng xác định toàn bộ bề mặt.

Ví dụ so sánh

Hãy hình dung SVI theo từng lát cắt giống như giao mỗi tầng của một tòa nhà cho một kiến trúc sư riêng. Mỗi tầng có thể rất đẹp, nhưng cầu thang giữa các tầng có thể không khớp nhau. SSVI thuê một kiến trúc sư cho cả tòa nhà -- từng tầng ít tùy biến hơn một chút, nhưng mọi thứ đều kết nối liền mạch.

Phần 2

Tham số hóa SSVI

Một công thức. Ba tham số điều khiển. Di chuyển các thanh trượt bên dưới và quan sát smile thay đổi hình dạng.

Tổng phương sai SSVI

w(k, θ) = θ/2 · (1 + ρφ(θ)k + √((φ(θ)k + ρ)² + (1 − ρ²)))

k là log-moneyness (ln(K/F)). Tại k=0, bạn ở trạng thái hòa vốn (ATM). k âm là call trong tiền (put OTM).

Hãy thử từng tham số để hình thành trực giác về vai trò của nó:

θ0.04

ρ-0.30

φ1.50

θ dịch chuyển mức tổng thể -- phương sai ATM cao hơn nghĩa là toàn bộ smile dịch lên trên. ρ làm nghiêng smile -- ρ âm tạo ra put skew mà các trader thường thấy. φ điều khiển độ rộng của hai cánh (wings).

Phần 3

Arbitrage calendar spread

Mục đích cốt lõi của SSVI: loại bỏ arbitrage calendar ngay từ cấu trúc. Nhưng chỉ khi φ được chọn đúng.

Arbitrage calendar spread nghĩa là tổng phương sai tại một mức giá strike nào đó giảm khi đi từ ngày đáo hạn ngắn sang ngày đáo hạn dài hơn. Điều đó không thể xảy ra trong một thị trường công bằng -- nó sẽ mang lại tiền miễn phí cho bạn.

Bên dưới, hãy so sánh một lựa chọn xấu của φ (hằng số, bỏ qua kỳ hạn) với dạng power-law tốt . Kéo thanh trượt ở panel bên trái và quan sát chỉ báo vi phạm.

Phi hằng số = 3.0Không có vi phạm

phi3.0

Phi hằng số bỏ qua kỳ hạn. Đường smile giữ nguyên độ dốc ở mọi kỳ đáo hạn, điều này có thể khiến tổng phương sai giảm khi chuyển sang các kỳ hạn dài hơn tại một số giá thực hiện.

Phi(theta) theo luật lũy thừaKhông có vi phạm

Phi theo luật lũy thừa giảm dần khi theta tăng, làm phẳng đường smile ở các kỳ hạn dài hơn. Tổng phương sai tăng đơn điệu theo thời gian tại mọi giá thực hiện — không có calendar arbitrage.

Hằng số φ giữ smile dốc như nhau ở mọi ngày đáo hạn. Khi θ tăng, smile dốc đẩy tổng phương sai ở hai cánh cao hơn mức cần thiết đối với kỳ hạn ngắn nhưng không đủ cao đối với kỳ hạn dài -- tạo ra các điểm giao cắt.

Dạng power-law φ suy giảm khi θ tăng, làm phẳng smile một cách tự nhiên ở kỳ hạn dài hơn. Điều này đảm bảo w(k, θ) tăng đơn điệu theo θ tại mọi k.

Phần 4

Dạng power-law

Hai tham số điều khiển toàn bộ bề mặt. Đó là phần thưởng cho tất cả các ràng buộc mà SSVI áp đặt.

Phi dạng power-law

φ(θ) = η / (θ^γ (1 + θ)^1−γ)

η > 0 điều khiển biên độ tổng thể của smile. γ ∈ [0, 1] điều khiển tốc độ smile phẳng dần theo kỳ hạn. Để không có arbitrage calendar cần η(1 + |ρ|) < 2.

Di chuyển các thanh trượt bên dưới. Quan sát heatmap thay đổi -- trục x là log-moneyness, trục y là ngày đáo hạn, và màu sắc là biến động ngụ ý (IV).

η0.50

γ0.50

ρ-0.30

Bề mặt biến động ngụ ý SSVI

Đáo hạn (năm)

1.00.530.05

-0.800.8

Log-moneyness (k)

IV

19%51%

η co giãn biên độ smile ở mọi nơi. Tăng lên thì hai cánh mở rộng ở tất cả các ngày đáo hạn. γ thay đổi tốc độ smile phẳng dần theo kỳ hạn. γ thấp nghĩa là smile kỳ hạn dài vẫn dốc; γ cao làm chúng phẳng nhanh.

Ba tham số (ρ, η, γ) cộng với đường cong phương sai ATM quan sát được θ(t). Đó là toàn bộ bề mặt. Hãy so sánh với hơn 25 tham số cho năm lát cắt của SVI theo từng lát cắt.

Tiếp theo nên xem:

Tài liệu tham khảo SSVI -- công thức đầy đủ, mẹo khớp mô hình và bảng so sánh

Tham số hóa SVI -- mô hình theo từng lát cắt mà SSVI mở rộng

Cách xây dựng bề mặt biến động -- pipeline vận hành thực tế