Các Mô hình Đơn giản & Nền tảng

Những khối xây dựng cơ bản. Black-Scholes: biến động không đổi, không có smile. CEV thêm một tham số để tạo ra skew. Displaced Diffusion dịch chuyển trục giá để xử lý lãi suất âm. Quá đơn giản để khớp smile trong môi trường sản xuất, nhưng mọi mô hình phức tạp đều mở rộng từ một trong những mô hình này.

💡

Mọi mô hình phức tạp đều mở rộng từ một mô hình đơn giản

SABR cần CEV (xương sống của nó). Heston cần Black-Scholes (trường hợp đặc biệt của nó). Hãy bắt đầu từ đây.

Tổng quan nhanh

Mô hình

Tham số

Tạo ra smile?

Ý tưởng chính

Black-Scholes

1

Không

Biến động không đổi. Đường cơ sở mà mọi mô hình khác cải tiến từ đó.

CEV

2

Chỉ có skew

Biến động thay đổi theo giá. Xương sống bên trong SABR.

Displaced Diffusion

2

Chỉ có skew

Black-Scholes dịch chuyển. Xử lý được lãi suất âm.

Bachelier

1

Không (phẳng theo định nghĩa)

Động lực học chuẩn (normal). Giá có thể âm.

Điểm chung của các mô hình

Cả bốn mô hình đều mô tả một quá trình khuếch tán đơn cho giá tài sản cơ sở. Không mô hình nào có biến động ngẫu nhiên (stochastic vol), bước nhảy (jumps), hay bất kỳ nguồn ngẫu nhiên thứ hai nào. Chúng khác nhau ở giả định về động lực học của giá.

Mô hình

Động lực học giá

Tạo ra skew?

Hạn chế chính

Black-Scholes

Chuyển động Brown hình học (lognormal)

Không

Smile phẳng -- không có skew, không có độ cong

CEV

Biến động theo luật lũy thừa: sigma * S^(beta-1)

Có

Chỉ có skew, không kiểm soát độ cong một cách độc lập

Displaced Diffusion

Lognormal dịch chuyển: d(S + d)

Có

Chỉ có skew, tương đương với CEV khi độ dịch chuyển nhỏ

Bachelier

Chuyển động Brown số học (normal)

Không

Smile phẳng, giá có thể âm

Mối quan hệ giữa các mô hình

Black-Scholes là đường cơ sở: biến động không đổi, giá theo phân phối lognormal, không có smile. CEV tổng quát hóa nó bằng cách cho biến động thay đổi theo mức giá (sigma nhân với S lũy thừa beta trừ một), điều này tạo ra skew. Đây là xương sống của SABR -- khi SABR thiết lập thành phần biến động cục bộ (local vol) của nó, nó sử dụng CEV. Displaced Diffusion đi theo hướng khác: nó dịch chuyển trục giá (mô hình hóa S + d thay vì S), điều này cũng tạo ra skew và cho phép bạn xử lý lãi suất hoặc giá âm. Với độ dịch chuyển nhỏ, nó hoạt động tương tự CEV. Bachelier là phiên bản cộng tính của Black-Scholes: giá tuân theo phân phối chuẩn thay vì lognormal. Nó tạo ra smile phẳng (tính theo normal-vol) và tự nhiên cho phép giá âm, đó là lý do nó trở thành tiêu chuẩn cho quyền chọn lãi suất khi lãi suất chuyển sang âm.

---

Các mô hình trong phần này:

• Black-Scholes — Nền tảng
• CEV Model — Biến động thay đổi theo giá
• Displaced Diffusion — Lognormal dịch chuyển
• Bachelier — Động lực học chuẩn, biến động cộng tính