SANOS từ con số 0
1/5Mô hình tham số có thiên kiến về hình dạng
Mọi mô hình tham số — SVI, SABR, khớp đa thức — đều bắt đầu bằng việc chọn một họ công thức. Họ công thức đó quyết định những hình dạng nào là khả thi trước cả khi bạn nhìn vào bất kỳ báo giá thị trường nào.
SVI có năm tham số, tức là năm bậc tự do để khớp với smile của thị trường. Với các thị trường thanh khoản tốt và ổn định, năm tham số thường là đủ. Smile khi đó mượt, gần giống parabol, và SVI khớp rất tốt.
Nhưng thị trường không phải lúc nào cũng ổn định. Một sự kiện lợi nhuận, một vụ khai thác lỗ hổng giao thức, một tin tức pháp lý — những điều này có thể tạo ra các gồ cục bộ trong biến động ngụ ý (IV) tại các mức giá thực hiện cụ thể. Một đường cong năm tham số không thể tạo gồ tại K=90 trong khi vẫn phẳng ở mọi nơi khác. Nó buộc phải bóp méo toàn bộ đường cong để chứa một đặc điểm cục bộ.
SANOS đi theo hướng ngược lại. Thay vì chọn một họ công thức, nó đặt một giá trị tại mỗi nút trên lưới và để dữ liệu quyết định hình dạng của bề mặt. Yêu cầu duy nhất: bề mặt phải mượt, không có arbitrage, và phải tôn trọng các báo giá mua/bán quan sát được.
SVI giống như khớp một thước mẫu uốn được vào tập điểm — thước có thể cong, nhưng không thể gãy khúc. SANOS giống như phủ một tấm lưới mềm dẻo lên các điểm, trong đó mỗi giao điểm có thể di chuyển độc lập. Tấm lưới có thể bắt được các đặc điểm cục bộ mà thước không thể.
Lưới thay thế công thức
Trong SANOS, bề mặt biến động được định nghĩa bởi một lưới nút: một giá trị tại mỗi giao điểm (giá strike, ngày đáo hạn). 9 giá strike và 5 ngày đáo hạn cho bạn 45 biến tự do. Mở rộng lên 20 giá strike và 5 ngày đáo hạn là bạn có 100.
Mỗi nút chứa một giá trị phương sai tổng (hoặc tương đương, một giá trị IV). Bề mặt giữa các nút được nội suy. Khác biệt then chốt so với mô hình tham số: không có công thức nào liên kết các giá trị này với nhau. Mỗi nút là một biến tự do, chỉ bị ràng buộc bởi điều kiện không arbitrage và độ mượt.
Bên dưới, lưới hiển thị các giá trị IV theo giá strike và ngày đáo hạn. Hãy để ý gồ cục bộ gần K=90, T=0.25 — đây chính là loại đặc điểm mà mô hình tham số sẽ bỏ sót. Bảng bên phải hiển thị smile tại một ngày đáo hạn được chọn, với đường khớp tốt nhất của SVI chồng lên để so sánh.
Nhấp vào ô bất kỳ để điều chỉnh vol của nó. Hãy quan sát smile của SANOS (xanh lá) lệch khỏi SVI (vàng nét đứt) tại những nơi lưới bắt được cấu trúc cục bộ. SVI buộc phải mượt trên toàn cục; lưới thì có thể bám theo dữ liệu từng điểm một.
SANOS: N_K × N_T nodes → local flexibility
Không arbitrage dưới dạng ràng buộc tuyến tính
Với 100 biến tự do, bạn cần các rào chắn. SANOS có được chúng từ các điều kiện không arbitrage tĩnh, biểu diễn dưới dạng bất đẳng thức tuyến tính trên các giá trị của lưới.
Hai ràng buộc then chốt:
Ràng buộc calendar spread. Phương sai tổng (w = σ^2 × T) phải không giảm theo T tại mỗi giá strike. Nếu nó giảm, bạn có thể bán một quyền chọn kỳ hạn ngắn và mua một quyền chọn kỳ hạn dài hơn cùng giá strike để thu lợi nhuận phi rủi ro. Trên lưới, điều này nghĩa là mỗi cột phải tăng từ trên xuống dưới.
Ràng buộc butterfly spread. Giá quyền chọn mua (call) phải lồi theo giá strike tại mỗi ngày đáo hạn. Tương đương, sai phân bậc hai của phương sai tổng giữa các giá strike liền kề phải không âm. Điều này ngăn mật độ xác suất âm — một điều bất khả về mặt vật lý.
Cả hai ràng buộc đều tuyến tính theo các giá trị lưới. Calendar: w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) for T_2 > T_1. Butterfly: w(K-1, T) - 2·w(K, T) + w(K+1, T) ≥ 0. Không có số hạng phi tuyến, không có sự ghép nối phức tạp. Chỉ là các bất đẳng thức mà bạn có thể đưa cho một bộ giải tuyến tính.
Đây là lợi thế sâu xa của việc làm việc trong không gian phương sai tổng trên lưới: các điều kiện không arbitrage vốn phi tuyến theo IV lại trở thành tuyến tính theo phương sai tổng. Toàn bộ bài toán xây dựng bề mặt vẫn nằm trong phạm vi quy hoạch tuyến tính.
Quy hoạch tuyến tính tìm ra lời giải
Gom tất cả các mảnh lại: giá trị nút là ẩn số, biên giá mua/giá bán là ràng buộc hộp, không arbitrage là các bất đẳng thức tuyến tính, độ mượt là hàm mục tiêu. Toàn bộ là một bài toán quy hoạch tuyến tính (LP).
LP có một tính chất then chốt: không có cực tiểu địa phương. Miền khả thi là một đa diện lồi, và điểm tối ưu luôn nằm tại một đỉnh. Khác với hiệu chỉnh SVI (vốn phi tuyến và có thể kẹt ở cực tiểu địa phương tùy điểm khởi tạo), LP luôn tìm được tối ưu toàn cục.
Các báo giá mua/bán định nghĩa ràng buộc hộp: tại mỗi giá strike quan sát được, phương sai tổng phải nằm giữa giá trị suy ra từ giá mua và giá bán. Spread càng hẹp, hộp càng nhỏ. Spread càng rộng, SANOS càng có nhiều tự do để tìm một bề mặt mượt, không arbitrage.
Hãy quan sát miền khả thi (xanh lá) thu hẹp khi thêm các ràng buộc. Tính dương, calendar, butterfly, và giá mua/giá bán — mỗi ràng buộc gọt bỏ các bề mặt bất khả. Nghiệm LP (chấm vàng) nằm tại một đỉnh của đa diện cuối cùng. Đỉnh đó được đảm bảo là bề mặt mượt nhất, không arbitrage và nhất quán với toàn bộ dữ liệu.
subject to: bid_i ≤ w_i ≤ ask_i (data)
w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) (calendar)
w(K-1) - 2w(K) + w(K+1) ≥ 0 (butterfly)
Khi nào SANOS thắng và khi nào không
SANOS không phải lúc nào cũng tốt hơn mô hình tham số. Nó có một điểm mạnh cụ thể, và biết khi nào nên dùng quan trọng hơn biết nó hoạt động ra sao.
SANOS thắng khi:
Dữ liệu thưa. Khi bạn chỉ có 5 báo giá mà cần cả một bề mặt, mô hình tham số gặp khó vì không đủ điểm để xác định các tham số. SANOS có thể xây dựng bề mặt từ dữ liệu thưa vì bản thân các ràng buộc không arbitrage đã cung cấp thông tin — chúng thu hẹp tập khả thi ngay cả khi không có báo giá thị trường.
Spread giá mua/giá bán rộng. Khớp mô hình tham số theo giá giữa (mid) có thể tạo ra bề mặt không arbitrage nhưng nằm ngoài khoảng giá mua/giá bán. SANOS coi spread là đặc điểm, không phải nhiễu. Spread càng rộng, càng có nhiều tự do để tìm một bề mặt mượt, không arbitrage.
Đặc điểm cục bộ. Gồ vol do sự kiện, các điểm gãy do vị thế tập trung, hiệu ứng riêng theo từng ngày đáo hạn. Bất kỳ cấu trúc nào mà công thức năm tham số không thể biểu diễn.
Kéo rộng thanh trượt spread và quan sát đường khớp SANOS (xanh lá) tách khỏi đường mid (cam nét đứt). Cả hai đều đi qua các thanh giá mua/giá bán, nhưng SANOS dùng phần tự do dư ra để giữ độ mượt cao hơn. Khi spread hẹp, hai đường khớp hội tụ.
SANOS thua khi:
Không có diễn giải động lực. Các tham số SVI (a, b, rho, m, sigma) mang ý nghĩa kinh tế: phương sai tổng thể, độ lớn của skew, tương quan, độ dịch chuyển. Các nút của SANOS chỉ là những con số trên lưới. Bạn mất khả năng nói "skew tăng 0.02" — bạn chỉ có thể nói "20 nút này đã dịch chuyển."
Lưu trữ và truyền đạt. Một bề mặt SVI chỉ là 5 con số mỗi ngày đáo hạn — lưu trữ và truyền tải cực kỳ dễ. Một bề mặt SANOS là hàng trăm giá trị nút. Với cơ sở dữ liệu, bộ đệm và giao thức truyền tin, điều này rất quan trọng.
Thành tích đã được kiểm chứng. SVI đã được dùng hơn 20 năm. SANOS mới hơn. Trong các hệ thống production nơi độ tin cậy và sự quen thuộc của đội ngũ quan trọng, đây là chi phí thực sự.
Mô thức thực tế: dùng SANOS cho khớp và định giá (nơi độ chính xác cục bộ quan trọng), dùng SVI cho lưu trữ và truyền đạt (nơi tính gọn nhẹ quan trọng). Chúng bổ trợ cho nhau.
Đọc tiếp:
Tham số hóa SVI — mô hình tham số mà SANOS được thiết kế để bổ trợ
Mô hình SABR — mô hình biến động ngẫu nhiên với diễn giải động lực
Local Vol từ con số không — cách trích xuất bề mặt local vol từ biến động ngụ ý (IV)
Các phương pháp nội suy — so sánh tất cả các phương pháp