SABR từ con số 0
1/5SABR cho vol một quá trình riêng
Trong Black-Scholes, biến động là hằng số. Trong thực tế, vol biến đổi liên tục — và nó biến đổi cùng giá spot. SABR nắm bắt cả hai thực tế này.
Mô hình SABR là hệ hai SDE liên kết. Giá forward F và biến động ngẫu nhiên σ cùng tiến hóa theo thời gian:
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ
Bốn tham số, mỗi tham số có một ý nghĩa thị trường riêng biệt. α là vol-of-vol — nó kiểm soát mức độ dao động mạnh của chính biến động. β là backbone — nó quyết định quá trình hoạt động giống chuyển động Brown hình học (β=1) hay chuyển động Brown số học (β=0). ρ là tương quan giữa biến động giá spot và biến động vol — khi giá spot giảm, vol có tăng không? (Với cổ phiếu/crypto, có: ρ < 0.)
Nhận thức then chốt: vol không chỉ là ẩn số — nó ngẫu nhiên và tương quan với tài sản cơ sở. Chỉ một ý tưởng này đã tạo ra các smile thực tế mà không cần cả một bề mặt tham số.
SABR ra đời trong thế giới lãi suất (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). Mọi bàn giao dịch swaption đều dùng nó để nội suy giữa các giá strike được niêm yết. Lý do rất đơn giản: bốn tham số cho mỗi ngày đáo hạn, mỗi tham số ánh xạ đến một đại lượng quan sát được, và bạn có công thức giải tích cho biến động ngụ ý. Không cần Monte Carlo cho smile.
β kiểm soát backbone
Số mũ β quyết định cách vol tức thời tỷ lệ theo mức giá forward. Nó thiết lập đặc tính của quá trình tài sản cơ sở trước cả khi vol-of-vol hay tương quan xuất hiện.
β = 1 (lognormal): Các biến động theo phần trăm có độ lớn không đổi. Nếu BTC ở mức 60k, biến động 1% là $600. Nếu BTC ở mức 30k, biến động 1% là $300. Biến động tính theo đô la tỷ lệ theo giá. Đây là giả định GBM cổ điển.
β = 0 (normal): Các biến động theo đô la có độ lớn không đổi. Dù lãi suất ở mức 2% hay 5%, độ lệch chuẩn hàng ngày tính theo điểm cơ bản là như nhau. Điều này phổ biến trong thị trường lãi suất.
β = 0.5 (kiểu CIR): Một phương án dung hòa. Vol tỷ lệ theo căn bậc hai của giá. Phổ biến cho crypto và FX, nơi không thái cực nào phù hợp hoàn hảo.
Kéo thanh trượt β bên dưới và quan sát ba smile tham chiếu. Tại β=1, smile tương đối đối xứng theo log-moneyness. Tại β=0, hồ sơ skew thay đổi mạnh. Backbone quyết định cách smile dịch chuyển khi giá spot biến động — đây là cách β liên hệ với hành vi sticky-strike và sticky-delta.
Trong thực tế, β thường được cố định thay vì hiệu chỉnh. Các bàn giao dịch lãi suất thường dùng β=0.5 hoặc β=0. Các bàn giao dịch cổ phiếu và crypto thường dùng β=1. Lý do: β khó tách bạch khỏi ρ khi hiệu chỉnh cho một ngày đáo hạn duy nhất. Cố định β và để ba tham số còn lại hấp thụ smile là thực hành tiêu chuẩn.
Xấp xỉ Hagan
Lý do SABR thống trị giao dịch lãi suất: Hagan và cộng sự đã suy ra một xấp xỉ dạng đóng cho biến động ngụ ý Black-Scholes như một hàm của giá strike. Không cần giải PDE, không cần mô phỏng — chỉ một công thức.
Các cột xếp chồng bên dưới phân rã biến động ngụ ý tại mỗi giá strike thành ba đóng góp cộng dồn. Phần cơ sở màu xanh lá là mức vol ATM (kết quả bạn nhận được với ρ=0 và ν=0 — thuần CEV). Lớp màu cam là hiệu chỉnh skew bậc nhất từ ρ. Lớp màu xanh dương là hiệu chỉnh độ lồi từ ν (vol-of-vol).
Tại hòa vốn (ATM), hiệu chỉnh skew và độ lồi gần như bằng không — phần cơ sở chiếm ưu thế. Ở các cánh, các hiệu chỉnh tăng lên. Điều chỉnh các thanh trượt để xem mỗi tham số kiểm soát lớp tương ứng như thế nào.
Lưu ý cách các cột skew màu cam đổi dấu: chúng dương ở một phía và âm ở phía kia (khi ρ ≠ 0). Các cột độ lồi màu xanh dương luôn dương ở các cánh, cộng thêm phí quyền chọn cho cả put sâu lẫn call sâu.
ρ và ν định hình smile
Khi β và α đã thiết lập backbone và mức vol tổng thể, hình dạng smile được kiểm soát bởi hai tham số: ρ (tương quan) làm nghiêng smile, và ν (vol-of-vol) uốn cong nó.
ρ là nút chỉnh skew. Khi ρ < 0, giá spot giảm đi kèm vol tăng — put trở nên đắt hơn call. Khi ρ > 0, ngược lại: call đắt hơn. Tại ρ = 0, smile đối xứng (với β=1 hoặc khi xem theo log-moneyness).
ν là nút chỉnh độ cong. Vol-of-vol cao hơn nghĩa là bản thân vol biến động mạnh hơn, khiến cả hai cánh đắt hơn. Smile rộng ra và độ nhọn (kurtosis) của phân phối cuối kỳ tăng lên. Tại ν = 0, hoàn toàn không có smile — bạn quay về mô hình CEV thuần túy.
Hai bảng bên dưới tách riêng từng hiệu ứng. Bên trái: cố định ν, kéo ρ. Bên phải: cố định ρ, kéo ν. Đường nét đứt là tham chiếu (ρ=0 hoặc ν=0).
ν = 0.40: Vol-of-vol vừa phải: độ cong nhìn thấy được ở hai cánh.
Sự tách biệt này rất hữu ích cho trực giác nhưng không hoàn hảo trong thực tế. ρ và ν không hoàn toàn trực giao — thay đổi một tham số làm dịch giá trị tối ưu của tham số kia khi hiệu chỉnh. Nhưng mô hình tư duy vẫn đúng: ρ xoay smile, ν thổi phồng nó.
Hiệu chỉnh và các cạm bẫy
Hiệu chỉnh SABR nghĩa là tìm (α, ρ, ν) sao cho smile của mô hình khớp với IV thị trường quan sát được — với β thường được cố định. Bên dưới, hãy thử tự tay khớp mô hình với dữ liệu thị trường mô phỏng.
Các vòng tròn màu cam là biến động ngụ ý "thị trường". Đường cong màu xanh lá là mô hình SABR của bạn. Các đường thẳng đứng thể hiện phần dư — khoảng cách giữa mô hình và thị trường tại mỗi giá strike. Kéo các thanh trượt để tối thiểu hóa SSE (tổng bình phương sai số). Một hiệu chỉnh tốt đưa phần dư về gần không ở mọi nơi, không chỉ tại ATM.
Một vài điều mà người làm nghề nhanh chóng học được:
Xấp xỉ Hagan bùng nổ ở các cánh. Với quyền chọn OTM sâu (chẳng hạn put 10-delta trên swaption 2Y), công thức Hagan có thể cho ra biến động ngụ ý âm hoặc tăng vọt đến mức phi lý. Đây là vấn đề "bùng nổ cánh" khét tiếng. Các giải pháp bao gồm công thức SABR không có arbitrage (Hagan-Lesniewski-Woodward 2014) hoặc phương pháp chính xác dựa trên PDE.
Lãi suất âm đã phá vỡ mô hình chuẩn. Với β > 0, forward F phải dương. Khi lãi suất xuống âm (EUR, JPY, CHF), các bàn giao dịch chuyển sang shifted SABR: áp dụng mô hình cho (F + shift) trong đó shift làm cho forward hiệu dụng dương.
Với crypto, β thường được cố định ở 0.5 hoặc 1.0. Bề mặt biến động của crypto có skew cực đoan và đuôi dày. β=1 (lognormal) là lựa chọn phổ biến nhất vì giá crypto không thể âm. Một số bàn giao dịch dùng β=0.5 để khớp tốt hơn ở các cánh.
SABR áp dụng cho từng ngày đáo hạn, không phải mô hình bề mặt. Mỗi ngày đáo hạn có bộ tham số hiệu chỉnh (α, ρ, ν) riêng. Mô hình không nói gì về cách các tham số này biến đổi qua các ngày đáo hạn. Để đảm bảo tính nhất quán về cấu trúc kỳ hạn, bạn cần thêm ràng buộc hoặc một khung khác (như SSVI hoặc local-stochastic vol).
Tìm hiểu tiếp:
Tham số hóa SVI — mô hình cấp bề mặt với đảm bảo không có arbitrage calendar spread
Biến động cục bộ — cách tiếp cận bổ trợ: vol tất định khớp chính xác mọi quyền chọn vanilla
Các phương pháp nội suy — so sánh tất cả các phương pháp smile/bề mặt