Rough Bergomi từ con số 0

1/5

Phần 1

Biến động có các đường đi thô ráp

Khi các nhà nghiên cứu đo lường cách biến động thực tế hành xử ở tần suất cao, họ phát hiện ra điều phá vỡ mọi mô hình cổ điển: tự tương quan của các gia số biến động suy giảm theo luật lũy thừa, chứ không phải theo hàm mũ. Các đường đi của biến động gồ ghề hơn nhiều so với bất kỳ ai từng giả định.

Trong Heston, SABR, hay bất kỳ mô hình dựa trên khuếch tán nào, quá trình phương sai được điều khiển bởi chuyển động Brown chuẩn. BM có số mũ Hurst H = 0.5, nghĩa là các gia số của nó không tương quan. Các đường đi thu được liên tục nhưng đủ trơn tru để khả vi "hầu hết thời gian" theo nghĩa trực quan.

Gatheral, Jaisson và Rosenbaum (2018) đã đo biến động thực hiện của các chỉ số cổ phiếu và các cổ phiếu riêng lẻ. Họ xem xét cách tự tương quan của các gia số log-biến động suy giảm theo độ trễ. Kết quả: nó suy giảm theo quy luật lũy thừa, γ(k) ∼ k^2H−1, with H ≈ 0.1. Không phải H = 0.5. Không phải H = 0.3. H gần bằng 0.

Mô hình tư duy

Hãy hình dung việc vẽ một đường thẳng bằng thước kẻ so với việc nguệch ngoạc bằng bút trong khi có người huých vào khuỷu tay bạn. Các mô hình cổ điển dùng thước kẻ. Rough vol cho rằng nét nguệch ngoạc mới gần với thực tế hơn. Cây bút liên tục đổi hướng ở mọi thang thời gian, không chỉ ở tần suất của một quá trình OU hồi quy về trung bình nào đó.

H ≈ 0.1 có nghĩa gì trên thực tế? Các gia số biến động chống tương quan mạnh. Nếu vol nhích lên trong năm phút vừa qua, thì nhiều khả năng nó sẽ nhích xuống trong năm phút tới. Sự đảo chiều liên tục ở mọi thang thời gian này là điều khiến đường đi trông gồ ghề -- lởm chởm và fractal, giống như một đường bờ biển hơn là một xa lộ.

Đây không phải là một lựa chọn mô hình hóa. Đó là một sự thật thực nghiệm được quan sát trên cổ phiếu, chỉ số, FX và crypto. Tính phổ quát của H ≈ 0.1 là một trong những phát hiện đáng chú ý nhất trong kinh tế lượng tài chính hiện đại.

Tự tương quan của gia số

H0.10

2H−1 = -0.80 — Tương quan âm mạnh: đường đi gồ ghề

At H < 0.5, các gia số có tự tương quan âm. Sau một nhịp tăng nhiều khả năng sẽ là một nhịp giảm, khiến đường đi trở nên gồ ghề. Đây là dấu hiệu thực nghiệm của biến động rough (rough volatility).

Hãy kéo thanh trượt phía trên. Tại H = 0.5, tự tương quan bằng 0 ở mọi độ trễ -- BM chuẩn, không có ký ức. Khi bạn hạ H về phía 0.1, tự tương quan trở nên âm mạnh. Các gia số phản tương quan. Đó chính là sự thô ráp.

Phần 2

H điều khiển điều gì

H là số mũ Hurst. Đó là con số duy nhất chi phối một quá trình ngẫu nhiên trông thô ráp hay trơn tru. Mọi thứ trong lý thuyết rough vol đều bắt nguồn từ việc H nhỏ hơn nhiều so với 0.5.

H = 0.5: Chuyển động Brown chuẩn. Đây là những gì Heston sử dụng. Các increment không tương quan với nhau. Đường đi liên tục nhưng không khả vi. Độ gồ ghề "mặc định" mà tài chính cổ điển giả định.

H < 0.5: Gồ ghề. Các increment phản tương quan. H càng thấp, đường đi càng gồ ghề. Tại H = 0.1, đường đi trông như được vẽ bởi một máy đo địa chấn động đất. Mỗi dao động đi lên nhiều khả năng được theo sau bởi một dao động đi xuống, ở mọi thang thời gian.

H → 0: Cực kỳ gồ ghề. Ở giới hạn, đường đi trở nên lởm chởm đến mức gần như không còn liên tục. Về mặt thực tiễn, H ≈ 0.1 là đủ gồ ghề để khớp với thị trường thực.

H > 0.5: Mượt (bền vững). Các increment tương quan dương. Đường đi có xu hướng. Chế độ này không liên quan đến biến động nhưng xuất hiện trong một số mô hình thủy văn và lưu lượng mạng.

Chuyển động Brown phân số

W^H(t) = fBM with Hurst parameter H

Cov(W^H(t), W^H(s)) = ½(|t|^2H + |s|^2H − |t−s|^2H)

Khi H = 0.5, điều này rút gọn thành min(t, s) -- hiệp phương sai BM chuẩn. Khi H ≠ 0.5, cấu trúc hiệp phương sai thay đổi: các increment có được trí nhớ.

Đường phương sai gồ ghề và mượt

H0.10

H = 0.10 — Rất gồ ghề: đường biến động răng cưa, sát thực tế

Bảng trên hiển thị ba đường đi phương sai cạnh nhau tại H = 0.1, 0.3 và 0.5. Sự khác biệt về mặt hình ảnh rất rõ rệt. Tại H = 0.5, đường đi uốn lượn trơn tru. Tại H = 0.1, nó trông như nhiễu tĩnh trên màn hình TV -- liên tục đảo chiều, đỉnh nhọn gồ ghề.

Hãy dùng thanh trượt ở bảng dưới để quét H liên tục. Hãy quan sát cách đường đi biến đổi từ trơn tru sang thô ráp khi bạn hạ H. Đây không phải là tham số của một mô hình cụ thể nào -- đó là một thuộc tính đo được của dữ liệu biến động thực tế.

Phần 3

Mô hình rough Bergomi

Bayer, Friz và Gatheral (2016) đã lấy phát hiện thực nghiệm về rough vol và xây dựng một mô hình định giá xoay quanh nó. Quá trình phương sai được điều khiển bởi chuyển động Brown phân số thay vì BM chuẩn. Kết quả thu được thanh lịch, tiết kiệm và phi Markov.

Phương sai rough Bergomi

v(t) = ξ₀(t) · exp(η · W^H(t) − ½η² · t^2H)

ξ₀(t): đường cong phương sai forward. Đọc trực tiếp từ giá thị trường của các variance swap. Điều này neo mô hình vào cấu trúc kỳ hạn được quan sát.
η (eta): vol-of-vol. Kiểm soát mức độ phương sai lệch khỏi đường cong forward. Càng cao η = smile càng rộng.
W^H(t): chuyển động Brown phân số với số mũ Hurst H. Đây là driver rough.
−½η²t^2H: hiệu chỉnh độ lồi đảm bảo E[v(t)] = ξ₀(t). Mô hình được tự động hiệu chỉnh theo cấu trúc kỳ hạn của phương sai.

Giá spot tuân theo khuếch tán log-chuẩn thông thường với phương sai tức thời v(t):

Động lực học của spot

dS(t) = √v(t) · S(t) · dW(t)

corr(dW(t), dW^H(t)) = ρ

Chuyển động Brown của spot W tương quan với driver phân số W^H. Giá trị ρ âm tạo ra skew, cùng cơ chế với Heston.

Đếm các tham số tự do: H (số mũ Hurst), η (vol-of-vol), và ρ (tương quan spot-vol). Tổng cộng là ba tham số, cộng với đường cong phương sai forward ξ₀(t) được đọc từ thị trường. So với năm tham số tự do của Heston. Mô hình này tiết kiệm hơn.

Khác biệt then chốt so với Heston: mô hình này không phải Markov. Trong Heston, tương lai của phương sai chỉ phụ thuộc vào mức phương sai hiện tại. Trong rough Bergomi, tương lai phụ thuộc vào toàn bộ lịch sử của đường đi. BM phân số có sự phụ thuộc tầm xa được tích hợp sẵn. Bạn không thể tóm tắt trạng thái trong một con số duy nhất.

Markov vs Phi Markov: Lịch sử quan trọng

Lịch sử A: phương sai đang tăng

Lịch sử B: phương sai đang giảm

Cả hai đường đi đều đạt cùng một mức phương sai tại "NOW". Trong mô hình Heston, các hình nón tương lai trùng lên nhau (lịch sử bị quên). Trong rough Bergomi, đường đi có lịch sử tăng có phân phối tương lai khác với đường đi có lịch sử giảm.

Hãy chuyển đổi giữa Markov và rough phía trên. Hai đường đi phương sai đến cùng một mức tại thời điểm "NOW," nhưng chúng đến đó bằng những lộ trình khác nhau. Trong Heston (Markov), phân phối tương lai của chúng giống hệt nhau -- mô hình không có ký ức. Trong rough Bergomi, đường đi đang tăng có nón tương lai khác với đường đi đang giảm. Lịch sử được ghi khắc vào động lực học.

Vì sao phi Markov quan trọng với giao dịch

Nếu bạn là một trader biến động và bạn thấy biến động thực tế 30 ngày ở mức 45%, bạn muốn biết: nó đến đó do vọt lên từ 20% (khả năng hồi quy về trung bình nhanh), hay do từ từ nhích lên từ 40% (khả năng duy trì)? Heston không thể phân biệt hai kịch bản này. Rough Bergomi thì có thể. Lịch sử đường đi chứa thông tin về tương lai.

Phần 4

Vì sao rough vol giải thích được nụ cười ngắn hạn

Ứng dụng đắt giá của lý thuyết rough vol: nó dự đoán rằng skew ATM biến thiên theo T^H−0.5. Tại H = 0.1, điều đó có nghĩa là skew bùng nổ với các kỳ hạn ngắn -- chính xác là những gì thị trường crypto và cổ phiếu thể hiện.

ATM skew là độ dốc của biến động ngụ ý như một hàm của log-moneyness, được đánh giá tại tiền. Mọi mô hình biến động ngẫu nhiên đều dự đoán một mối quan hệ cụ thể giữa skew này và kỳ hạn T:

Cấu trúc kỳ hạn của skew

|skew(T)| ∝ T^{H − 0.5}

H = 0.5 (Heston): skew ∝ T⁰ = hằng số. Skew không phụ thuộc vào kỳ hạn. Quá phẳng ở đầu ngắn hạn.
H = 0.1 (rough): skew ∝ T^−0.4. Skew bùng nổ khi T → 0. Khớp với dữ liệu thực.

Đây là điểm mấu chốt của toàn bộ chương trình rough vol. Các mô hình cổ điển dự đoán một cấu trúc kỳ hạn của skew quá phẳng ở đầu ngắn hạn. Chúng có thể khớp skew 3 tháng nhưng chật vật với skew 1 tuần hay 1 ngày. Các trader đã biết từ nhiều năm rằng nụ cười ngắn hạn dốc hơn so với Heston dự đoán. Rough vol giải thích vì sao: độ thô ráp của quá trình phương sai của tài sản cơ sở trực tiếp điều khiển tốc độ skew tăng lên khi kỳ hạn co lại.

Cấu trúc kỳ hạn của skew ATM

H = 0.1: skew ∝ T^-0.4

H = 0.3: skew ∝ T^-0.2

H = 0.5: skew ∝ T^0.0

Dữ liệu thực nghiệm BTC

Power-law skew: |skew| ∝ T^H−0.5. At H=0.1, the exponent is −0.4, so short-dated skew blows up.

Biểu đồ trên hiển thị ba chế độ trên thang logarit. Tại H = 0.1 (xanh lá), đường cong skew dốc -- skew ngắn hạn lớn hơn nhiều so với dài hạn. Tại H = 0.5 (đỏ, giống Heston), đường cong gần như phẳng. Các chấm vàng là dữ liệu BTC thực nghiệm, và chúng bám sát đường cong H = 0.1.

Đây không phải là một sự trùng hợp. Khi bạn đo H từ dữ liệu vol thực hiện của BTC, bạn thu được H ≈ 0.1. Khi bạn nhìn vào cấu trúc kỳ hạn của skew ngụ ý bởi quyền chọn BTC, nó biến thiên như T^−0.4. Lý thuyết và dữ liệu đồng thuận.

Vì sao Heston sai điều này: Quá trình phương sai CIR của Heston được điều khiển bởi BM chuẩn (H = 0.5). Nó không thể tạo ra sự suy giảm skew theo luật lũy thừa với số mũ dưới không. Bạn có thể làm cho skew của Heston dốc bằng cách tăng mạnh σ (vol-of-vol), nhưng điều đó vi phạm điều kiện Feller và tạo ra các vấn đề về số học. Rough Bergomi đạt được skew ngắn hạn dốc một cách tự nhiên, mà không cần bất kỳ sự bóp méo tham số nào.

Phần 5

Các thách thức về định giá

Rough Bergomi đẹp về mặt lý thuyết và có cơ sở thực nghiệm. Nhưng nó tốn kém khi sử dụng. Không có công thức đóng, không có PDE, không có mẹo Fourier nhanh. Chỉ có Monte Carlo, và ngay cả điều đó cũng chậm vì cấu trúc phi Markov.

Không có hàm đặc trưng dạng đóng. Tính năng đắt giá của Heston là định giá bán giải tích thông qua nghịch đảo Fourier. Rough Bergomi không có điều này. Trình điều khiển fractional BM phá vỡ cấu trúc affine vốn giúp hàm đặc trưng của Heston có thể giải được.

Chỉ Monte Carlo. Để định giá một quyền chọn vanilla theo rough Bergomi, bạn mô phỏng các đường đi của quá trình phương sai, tính giá spot cuối kỳ, và lấy trung bình các payoff. Hội tụ Monte Carlo tiêu chuẩn: 1/√N. Để có được giá chính xác đến 1 điểm cơ bản, bạn cần rất nhiều đường đi.

Mô phỏng fBM rất tốn kém. BM tiêu chuẩn là Markov: để mô phỏng bước tiếp theo, bạn chỉ cần giá trị hiện tại. fBM là phi Markov: để mô phỏng bước tiếp theo một cách chính xác, bạn cần toàn bộ lịch sử của đường đi. Một phân rã Cholesky ngây thơ tốn O(N²) mỗi đường đi về bộ nhớ và O(N³) về thời gian, trong đó N là số bước thời gian. Điều đó thật tàn khốc đối với các đường đi dài.

Các sơ đồ lai. Bayer, Friz và Gatheral đã đề xuất một sơ đồ lai chia kernel fBM thành phần "gần" (tính chính xác) và phần "xa" (xấp xỉ bằng một vài hàm cơ sở). Điều này giảm chi phí xuống còn khoảng O(N · log N) mỗi đường đi, khiến việc hiệu chỉnh trở nên khả thi nhưng vẫn chưa đủ nhanh cho việc định giá thời gian thực trên một bàn giao dịch.

Không có PDE. Các mô hình Markov như Heston có thể được định giá qua các PDE (sai phân hữu hạn). Điều này cho ra định giá nhanh, dựa trên lưới. Các mô hình phi Markov không có không gian trạng thái hữu hạn chiều, nên bạn không thể viết một PDE. "Lời nguyền phi Markov" là ở chỗ trạng thái có vô hạn chiều (toàn bộ lịch sử đường đi).

So sánh chi phí tính toán

Heston: nghịch đảo Fourier — O(1) mỗi quyền chọn (micro giây)

Rough Bergomi: Monte Carlo — O(N·M) mỗi quyền chọn (giây)

N = số bước thời gian mỗi đường đi, M = số đường đi. Một lần hiệu chỉnh điển hình yêu cầu đánh giá hàng trăm mức giá quyền chọn cho mỗi bước tối ưu hóa. Điều này khiến rough Bergomi chậm hơn Heston 10.000 lần cho cùng một tác vụ.

Vị trí của rough Bergomi trong thực tế:

1. Nghiên cứu và các nghiên cứu hiệu chỉnh. Các học giả và nhà nghiên cứu định lượng sử dụng nó để xác thực giả thuyết rough vol và để đối chuẩn các mô hình khác. Nếu mô hình nhanh của bạn (SVI, SABR) cho skew khác với dự đoán của rough Bergomi, bạn biết có điều gì đó không ổn.

2. Hiệu chỉnh qua đêm. Một số bàn giao dịch chạy hiệu chỉnh rough Bergomi qua đêm như một công cụ chẩn đoán. Nó cho họ biết liệu mô hình nhanh ban ngày của họ có đang bỏ lỡ động lực skew hay không.

3. Định hình trực giác. Ngay cả khi bạn không bao giờ chạy mô hình trực tiếp, việc hiểu rough vol thay đổi cách bạn suy nghĩ về các quyền chọn ngắn hạn. Khi skew 1 ngày trông dốc hơn mô hình của bạn dự đoán, rough vol cho bạn biết điều đó là bình thường -- đó là các đường phương sai rough của thị trường đang hiện ra.

4. Các proxy mạng nơ-ron. Các nghiên cứu gần đây huấn luyện mạng nơ-ron để xấp xỉ giá rough Bergomi. Mạng học ánh xạ từ các tham số sang giá ngoại tuyến (sử dụng Monte Carlo chậm), sau đó đánh giá trong vài mili giây khi chạy. Điều này cuối cùng có thể khiến rough vol khả dụng trong sản xuất.

Bức tranh toàn cảnh

Rough Bergomi nằm ở giao điểm của tài chính toán học và kinh tế lượng. Đây là một trong những trường hợp hiếm hoi mà một phép đo (H ≈ 0.1) trực tiếp quyết định một mô hình. Hầu hết các mô hình được phát minh trước và khớp sau. Rough vol được phát hiện trong dữ liệu trước và được hình thức hóa sau. Nền tảng thực nghiệm đó là lý do cộng đồng coi trọng nó, bất chấp chi phí tính toán.

Đi tiếp đến đâu:

Mô hình Heston -- con ngựa thồ stochastic vol Markov, với định giá Fourier

Tham số hóa SVI -- tiêu chuẩn khớp smile nhanh cho các bề mặt biến động crypto

Mô hình SABR -- stochastic vol không có hồi quy về trung bình

Các phương pháp nội suy -- so sánh tất cả các phương pháp xây dựng bề mặt