Merton Jump-Diffusion từ con số 0
1/5Black-Scholes không thể xử lý các cú sụp đổ
Black-Scholes giả định giá di chuyển liên tục — từng tick nhỏ một, không được phép "dịch chuyển tức thời". Điều đó ổn trong 99% thời gian. 1% còn lại chính là thứ khiến bạn cháy tài khoản.
Thị trường có gap. Công bố lợi nhuận, cú sốc địa chính trị, giao thức bị khai thác — giá nhảy tức thì từ mức này sang mức khác mà không có gì ở giữa. Một mô hình chỉ biết đến khuếch tán hoàn toàn không thể gán xác suất cho những sự kiện này.
Cách khắc phục của Robert Merton (1976): giữ nguyên khuếch tán, nhưng gắn thêm một nguồn ngẫu nhiên thứ hai — một quá trình Poisson kích hoạt tại các thời điểm ngẫu nhiên. Khi kích hoạt, giá nhảy một lượng ngẫu nhiên được lấy từ phân phối lognormal.
dN — bộ đếm Poisson. Thường là 0. Thỉnh thoảng là 1 (một cú nhảy xảy ra).
J — hệ số nhân của cú nhảy. ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²). Nếu J = 0.9, giá giảm 10% ngay lập tức.
λ — số cú nhảy trung bình mỗi năm. k = E[J − 1] — hệ số bù để giữ drift sạch.
Dưới đây là ba đường giá mô phỏng theo mô hình Merton. Phần lớn thời gian, đường giá là khuếch tán mượt mà. Rồi một đường thẳng đứng xuất hiện — đó là một cú nhảy. Tăng λ để thấy các cú nhảy thường xuyên hơn, hoặc đặt μJ âm hơn để thấy hành vi giống sụp đổ.
Hãy hình dung khuếch tán như việc đi bộ qua một căn phòng. Bạn bước những bước nhỏ, liên tục. Giờ hãy thêm các cửa sập trên sàn. Hầu hết các bước đều bình thường. Nhưng thỉnh thoảng bạn rơi qua cửa sập và đáp xuống một nơi bất ngờ. Đó chính là thành phần nhảy.
Ba tham số mới
Ngoài σ thông thường (biến động khuếch tán), Merton thêm ba tham số cùng nhau điều khiển hình dạng của smile biến động ngụ ý. Mỗi tham số đảm nhận một nhiệm vụ cụ thể.
λ (lambda) — tần suất nhảy. Trung bình mỗi năm có bao nhiêu cú nhảy. λ cao hơn nghĩa là các cú nhảy phổ biến hơn, nâng cả hai cánh của smile lên. Nếu λ = 0, bạn quay trở lại thế giới Black-Scholes.
μJ (mu-J) — độ lớn nhảy trung bình. Nếu âm, các cú nhảy chủ yếu hướng xuống (sụp đổ). Điều này làm nghiêng smile — cánh trái (put) trở nên đắt hơn cánh phải (call). Nếu bằng 0, các cú nhảy đối xứng và smile gần như đối xứng.
σJ (sigma-J) — biến động của độ lớn nhảy. Độ lớn cú nhảy biến thiên đến mức nào. Ngay cả khi μJ = 0, σJ cao nghĩa là có những cú nhảy rất lớn và có những cú rất nhỏ. Điều này tạo thêm độ nhọn vượt trội (excess kurtosis) — đuôi dày hơn phân phối chuẩn — làm tăng độ cong ở hai cánh.
Hãy thử các thanh trượt phía trên. Ba thí nghiệm nên thử:
1. Đặt λ = 0. Smile trở nên phẳng — thuần BS.
2. Đặt λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05. Bạn sẽ thấy skew giảm giá dốc — thị trường kỳ vọng sụp đổ nhiều hơn tăng giá.
3. Đặt μJ = 0, σJ = 0.30. Cả hai cánh nâng lên đối xứng — thuần đuôi dày, không thiên hướng nào.
Công thức định giá
Công thức định giá của Merton rất thanh lịch: giá quyền chọn là tổng có trọng số của các giá Black-Scholes, mỗi giá cho mỗi số lượng bước nhảy có thể xảy ra. Nếu bạn có thể định giá các quyền chọn mua vanilla BS, bạn có thể định giá Merton.
σn² = σ² + nσJ²/τ — mỗi cú nhảy thêm vào làm tăng phương sai hiệu dụng.
Trọng số là một xác suất Poisson — xác suất xảy ra đúng n sự kiện trong khoảng thời gian τ.
Trong thực tế, 10–15 số hạng là đủ vì trọng số Poisson suy giảm rất nhanh.
Hình trực quan bên dưới phân rã giá Merton thành sáu số hạng đầu tiên. Bảng bên trái hiển thị các cột cho từng số hạng tại giá strike bạn chọn. Bảng bên phải cho thấy các số hạng xếp chồng qua mọi giá strike — bạn có thể thấy số hạng nào chiếm ưu thế tại vùng hòa vốn (ATM) so với hai cánh.
Quan sát then chốt: số hạng n=0 (không có cú nhảy nào) chính là giá Black-Scholes thông thường. Các số hạng cao hơn dần dần thêm giá trị vào hai cánh, vì các cú nhảy đẩy biến động hiệu dụng lên cao và giúp giá chạm được đến các strike xa.
Kéo thanh trượt strike ra hai cánh (K=80 hoặc K=120). Quan sát cách các số hạng n cao hơn dần trở nên quan trọng hơn theo tỷ lệ. Tại vùng hòa vốn (ATM), n=0 chiếm ưu thế. Ở hai cánh, n=1 và n=2 bắt đầu đóng vai trò lớn — đó chính là nơi phần bù rủi ro nhảy tồn tại.
Rủi ro nhảy không thể hedge
Trong Black-Scholes, phòng hộ delta loại bỏ toàn bộ rủi ro — bạn tái cân bằng liên tục, và rủi ro khuếch tán triệt tiêu. Với các cú nhảy, điều đó bị phá vỡ. Cú nhảy xảy ra tức thì; bạn không thể tái cân bằng đủ nhanh.
Hãy nghĩ xem: phòng hộ delta hoạt động bằng cách điều chỉnh vị thế tài sản cơ sở của bạn theo những thay đổi giá nhỏ. Nhưng một cú nhảy không hề nhỏ — giá "dịch chuyển tức thời". Đến khi bạn kịp phản ứng, thiệt hại (hoặc vận may) đã xảy ra. Hedge của bạn được định cỡ theo giá trước cú nhảy, không phải giá sau cú nhảy.
Điều này nghĩa là thị trường Merton là không đầy đủ. Bạn không thể tái tạo mọi payoff chỉ với tài sản cơ sở và trái phiếu. Rủi ro nhảy là một yếu tố rủi ro riêng biệt mà thị trường phải định giá. Đây là lý do quyền chọn trong thực tế mang một phần phí cao hơn mức mà logic phòng hộ delta của BS hàm ý.
Nhấn Tạo lại vài lần và quan sát mẫu hình. Ở bảng BS (bên trái), PnL tích lũy dao động nhưng vẫn tương đối gọn — hedge đang làm tốt nhiệm vụ. Ở bảng Merton (bên phải), PnL trông tương tự phần lớn thời gian, nhưng rồi một cột đỏ thẳng đứng xuất hiện (một cú nhảy) và PnL giật mạnh.
Các cú sốc PnL do nhảy gây ra là bất đối xứng khi μJ < 0: các cú nhảy xuống gây thiệt hại cho người hedge (đang short gamma) nhiều hơn mức mà các cú nhảy lên bù lại. Đây là lý do căn bản khiến các put phòng sụp đổ mang phần phí cao — ai đó phải được đền bù vì gánh chịu rủi ro nhảy không thể hedge này.
Merton vs. Heston vs. thực tế
Merton xuất sắc với các smile kỳ hạn ngắn. Heston xuất sắc với các smile kỳ hạn dài. Thực tế cần cả hai — đó là lý do mô hình Bates (Heston + nhảy) trở thành công cụ chủ lực của ngành.
Đây là sự khác biệt then chốt:
Các cú nhảy chiếm ưu thế ở kỳ hạn ngắn. Một quyền chọn 1 tuần thì quá ngắn để biến động ngẫu nhiên “khuếch tán” một cách có ý nghĩa. Nhưng một bước nhảy duy nhất vẫn có thể chạm tới một giá thực hiện xa. Thành phần bước nhảy của Merton là động lực chính của giá cánh ngắn hạn.
Biến động ngẫu nhiên chiếm ưu thế ở kỳ hạn dài. Trong 6 tháng, bản thân biến động dao động lên xuống đủ để tự tạo ra đuôi dày. Các sự kiện nhảy bị "pha loãng" khi lấy trung bình — một cú nhảy trong 252 ngày giao dịch có ý nghĩa ít hơn một cú nhảy trong 5 ngày giao dịch.
Cánh kỳ hạn dài → vol-of-vol → Heston
Cả hai → Bates = Heston + nhảy Merton
Hệ quả thực tiễn: nếu bạn hiệu chỉnh Merton theo quyền chọn 1 tháng rồi dùng nó để định giá quyền chọn 1 năm, smile kỳ hạn dài sẽ quá phẳng. Thành phần nhảy suy giảm theo √τ, nhưng smile thị trường vẫn duy trì ở mức cao tại các kỳ hạn dài vì bản thân biến động là bất định.
Ngược lại, chỉ riêng Heston sẽ định giá thấp các cánh kỳ hạn ngắn. Quá trình biến động quá chậm để tạo ra độ nhọn cực đoan ở kỳ hạn ngắn mà thị trường đòi hỏi. Bạn cần các cú nhảy cho việc đó.
Black-Scholes: smile phẳng. Không skew, không cánh. Chuẩn so sánh đơn giản nhất.
Merton: smile với hai cánh nâng cao, đặc biệt ở kỳ hạn ngắn. Có skew nếu μJ < 0. Smile phẳng dần theo kỳ hạn khi các cú nhảy bị pha loãng.
Heston: smile từ vol-of-vol. Smile duy trì ở kỳ hạn dài. Tạo skew qua tương quan giữa biến động và giá giao ngay (ρ).
Bates: Heston + nhảy Merton. Khớp với cấu trúc kỳ hạn của smile từ kỳ hạn ngắn đến dài. Lựa chọn tiêu chuẩn của ngành cho cả cổ phiếu và crypto.
Nên tìm hiểu tiếp:
Mô hình Heston — biến động ngẫu nhiên, nửa còn lại của bức tranh
Mô hình Bates — Heston + nhảy: công cụ chủ lực của ngành
Khuếch tán-nhảy Kou — nhảy bất đối xứng với đuôi mũ kép (double-exponential)