Mô hình Merton Jump-Diffusion
Black-Scholes giả định giá di chuyển trơn tru -- không có khoảng trống giá, không có sụp đổ đột ngột. Merton (1976) bổ sung thêm các cú nhảy giá (jumps). Giá có thể đột ngột dịch chuyển lên hoặc xuống, chứ không chỉ khuếch tán từ từ. Thị trường gap qua đêm. Một stablecoin mất peg chỉ trong một block.
Đuôi dày (fat tails) và smile dốc ở kỳ hạn ngắn là hệ quả trực tiếp. Rủi ro nhảy giá càng cao = hai cánh của bề mặt biến động càng dốc.
Tại sao các cú nhảy giá quan trọng với quyền chọn
Một quyền chọn bán OTM đáo hạn trong 2 ngày gần như vô giá trị theo Black-Scholes -- không có đủ thời gian để quá trình khuếch tán chạm tới giá thực hiện. Nhưng nếu thị trường có thể nhảy 15% qua đêm, quyền chọn bán đó có giá trị thực sự. Các mô hình jump nắm bắt được điều này. Đó là lý do vì sao smile ở kỳ hạn ngắn lại dốc như vậy.
Khám phá các tham số
Bắt đầu với "No jumps" để xem đường Black-Scholes phẳng. Sau đó chuyển sang "Crash risk" và quan sát cánh put dốc lên.
Trình khám phá smile Merton (khuếch tán có bước nhảy)
Bắt đầu với "Không có bước nhảy" để xem Black-Scholes phẳng, sau đó chuyển sang "Rủi ro sụp đổ" để xem bước nhảy tạo ra skew như thế nào.
Tác dụng của từng tham số
- Lambda (cường độ nhảy giá): Số cú nhảy giá kỳ vọng mỗi năm. Bằng không = Black-Scholes. Bằng một = xấp xỉ một sự kiện cỡ sụp đổ mỗi năm. Trong crypto, con số này có thể là 2-3.
- Kích thước nhảy trung bình: Hướng trung bình của một cú nhảy. Âm = các cú sụp đổ phổ biến hơn các cú tăng vọt. Đây chính là yếu tố tạo ra skew phía put.
- Biến động nhảy giá: Mức độ biến thiên của mỗi cú nhảy. Ngay cả khi cú nhảy trung bình bằng không, biến động nhảy giá cao vẫn tạo ra đuôi dày (cả hai cánh đều nâng lên).
- Biến động cơ sở (sigma): Biến động khuếch tán thông thường giữa các cú nhảy. Tham số này thiết lập mức tổng thể.
Cách các cú nhảy giá định hình smile
Smile từ nhảy giá vs. Smile từ biến động ngẫu nhiên
Merton và Heston (biến động ngẫu nhiên) đều tạo ra smile, nhưng theo những cách khác nhau. Sự khác biệt này quan trọng đối với giao dịch.
Kỳ hạn ngắn vs. kỳ hạn dài
Mô hình Merton hữu ích nhất cho quyền chọn kỳ hạn ngắn, nơi rủi ro nhảy giá chiếm ưu thế. Với các kỳ hạn dài hơn, định lý giới hạn trung tâm bắt đầu phát huy tác dụng -- nhiều cú nhảy nhỏ trông giống như khuếch tán, và smile chỉ từ các cú nhảy sẽ mờ dần. Biến động ngẫu nhiên chiếm ưu thế ở phần cuối dài của cấu trúc kỳ hạn.
Merton trong Crypto
Crypto được cho là nơi Merton quan trọng nhất. Thị trường giao dịch 24/7 nhưng khoảng trống thanh khoản là điều thường gặp -- sàn giao dịch ngừng hoạt động, oracle gặp sự cố, các chuỗi thanh lý dây chuyền đột ngột. Đây chính là các cú nhảy giá. Mức ATM có thể không thay đổi nhiều, nhưng hai cánh dốc lên rõ rệt.
Mô hình đơn giản nhất định giá rủi ro gap
Merton giải thích tại sao quyền chọn OTM kỳ hạn ngắn đắt hơn so với dự đoán của Black-Scholes. Nếu bạn giao dịch quyền chọn hàng tuần hoặc quyền chọn crypto kỳ hạn ngắn, rủi ro nhảy giá chính là thứ bạn thực sự đang định giá. Phòng hộ Delta theo Merton khác với Black-Scholes vì thành phần nhảy giá không thể phòng hộ được -- chỉ có phần khuếch tán mới có thể được sao chép. Mức độ phơi nhiễm Vega cao hơn về mặt cấu trúc.
Công cụ khám phá phương trình
Chuyển đổi giữa biến động ngụ ý, phương sai tổng, log-moneyness và giá quyền chọn.
Trình khám phá phương trình
💡 Mẹo: Hãy thử trả lời từng câu hỏi trước khi xem đáp án.
Xây dựng trực giác toán học
Học Merton jumps từ đầuBài học tương tác · không cần kiến thức nềnBài học này bắt đầu với câu hỏi đơn giản "điều gì xảy ra nếu giá có thể dịch chuyển tức thời?" rồi xây dựng trực giác đầy đủ về cường độ nhảy giá, kích thước cú nhảy, và tại sao các cánh ở kỳ hạn ngắn lại trở nên đắt đỏ.
Xem thêm:
- Black-Scholes -- Mô hình cơ sở không có nhảy giá
- Mô hình Heston -- Biến động ngẫu nhiên (cách khác để có smile)
- Variance Gamma -- Mô hình thuần nhảy giá không có khuếch tán
- Skew -- Tại sao smile bị nghiêng