Biến động cục bộ từ con số 0
1/5Biến động ngụ ý là một trung bình pha trộn
Ý tưởng quan trọng nhất trong local vol: biến động ngụ ý bạn quan sát được cho một giá thực hiện và ngày đáo hạn nhất định không phải là biến động tại điểm đó. Nó là trung bình có trọng số theo đường đi của tất cả các local vol dọc theo lộ trình.
Hãy hình dung như một chuyến đi đường dài. Tốc độ giới hạn thay đổi từ thị trấn này sang thị trấn khác (đó là các local vol). Tốc độ trung bình trên toàn bộ chuyến đi là biến động ngụ ý của bạn. Hai chuyến đi kết thúc ở cùng điểm đến có thể có tốc độ trung bình khác nhau vì chúng đi qua các thị trấn khác nhau.
Bên dưới, mọi đường đi đều bắt đầu tại S=100 và kết thúc ở cùng một mức giá cuối. Nhưng mỗi đường đi lang thang qua các vùng giá khác nhau, mỗi vùng có local vol riêng. Biến động ngụ ý là trung bình trên tất cả các đường đi này.
Thêm nhiều đường đi và xem biến động trung bình ổn định lại. Mỗi đường đi trải qua các local vol khác nhau tùy thuộc vào những mức giá nó ghé qua. Phần tô nền cho thấy cảnh quan local vol — càng sáng nghĩa là biến động càng cao.
Local vol là gì?
Local volatility là biến động tức thời tại một điểm (giá, thời gian) cụ thể. Nó là một cảnh quan: tại mọi mức giá spot và mọi thời điểm, có một giá trị biến động cụ thể.
Mô hình phát biểu: nếu tài sản cơ sở ở mức giá S tại thời điểm t, biến động tức thời chính xác là σ(S, t). Không có tính ngẫu nhiên trong bản thân biến động — nó là một hàm xác định của vị trí giá và thời điểm.
Di chuột qua heatmap bên dưới để xem giá trị local vol tại mỗi điểm. Hãy chú ý mẫu hình: biến động cao hơn ở giá spot thấp (bên trái), thấp hơn ở giá spot cao (bên phải). Sự bất đối xứng này tạo ra skew biến động ngụ ý.
Local vol giống như một bản đồ địa hình về tốc độ gió. Tại mỗi (vĩ độ, kinh độ) có một tốc độ gió cụ thể. Một con tàu đi từ A đến B trải qua các luồng gió khác nhau tùy thuộc vào lộ trình. Tốc độ gió trung bình trong hành trình giống như biến động ngụ ý. Tốc độ gió tại mỗi điểm riêng lẻ là local vol.
Công thức Dupire
Dupire đã chỉ ra rằng bạn có thể trích xuất bề mặt local vol trực tiếp từ giá quyền chọn quan sát được. Công thức sử dụng hai đạo hàm riêng của hàm giá call.
∂²C/∂K² — độ cong của giá call qua các giá thực hiện. Đây là mật độ xác suất của giá cuối (spread butterfly). Khi số hạng này bằng không, có arbitrage butterfly và local vol không xác định.
Lưới bên dưới hiển thị giá call Black-Scholes được tính với bề mặt biến động ngụ ý bị skew. Nhấp vào bất kỳ ô nội bộ nào để chọn nó. Chuyển đổi giữa hai chế độ xem đạo hàm để thấy ô lân cận nào đóng góp vào tử số và mẫu số.
| T \ K | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10y | 15.60 | 11.06 | 7.30 | 5.36 | 2.28 | 0.81 | 0.26 |
| 0.25y | 17.06 | 13.16 | 10.11 | 8.50 | 5.43 | 2.97 | 1.57 |
| 0.50y | 19.57 | 16.19 | 13.57 | 12.06 | 9.70 | 6.42 | 4.22 |
| 0.75y | 21.85 | 18.75 | 16.32 | 14.82 | 13.05 | 9.63 | 6.89 |
| 1.00y | 23.93 | 21.00 | 18.68 | 17.15 | 15.63 | 12.64 | 9.52 |
Tử số (∂C/∂T) đo lường thị trường gán thêm bao nhiêu giá trị thời gian cho một kỳ đáo hạn dài hơn — đây là thông tin biến động kỳ hạn (forward vol). Mẫu số (∂²C/∂K²) là mật độ xác suất trung tính rủi ro. Tỷ số của chúng cô lập phương sai tức thời tại điểm (K, T) đó.
Từ smile đến bề mặt
Smile biến động ngụ ý — một đường cong IV qua các giá thực hiện — ánh xạ tới toàn bộ một bề mặt local vol. Điều chỉnh hình dạng smile sẽ thay đổi cảnh quan local vol.
Dùng các thanh trượt bên dưới để thay đổi smile biến động ngụ ý: mức cơ sở, skew (độ nghiêng), và độ cong (độ lồi). Bảng bên trái hiển thị smile IV. Bảng bên phải hiển thị heatmap local vol thu được, tính qua Dupire.
Những điều quan trọng cần chú ý:
Local vol luôn cực đoan hơn biến động ngụ ý. Vì biến động ngụ ý lấy trung bình qua các đường đi, nó làm mượt các đỉnh và đáy của local vol. Tăng độ cong và xem các cánh của local vol trở nên rõ rệt hơn nhiều.
Thêm skew làm dịch chuyển local vol một cách bất đối xứng. Skew âm (điển hình trong thị trường cổ phiếu/crypto) tạo ra local vol cao hơn ở bên trái (giá spot thấp) và thấp hơn ở bên phải.
Tại sao nó quan trọng đối với các quyền chọn exotic
Đối với quyền chọn vanilla, biến động ngụ ý là đủ. Đối với bất cứ thứ gì phụ thuộc đường đi — barrier, Asian, lookback — bạn cần biết biến động ở đâu dọc theo đường đi, không chỉ là trung bình cuối.
Một call down-and-out có payoff giống một call thông thường trừ khi giá chạm barrier trên đường đi. Xác suất chạm barrier phụ thuộc vào biến động mà giá trải qua gần mức barrier. Hai bề mặt local vol khác nhau có thể tạo ra cùng một giá call vanilla nhưng giá barrier khác nhau rất nhiều.
Đây là lập luận cốt lõi cho local vol: nó làm cho giá các quyền chọn exotic của bạn nhất quán với các quyền chọn vanilla. Bất kỳ quyền chọn barrier hoặc phụ thuộc đường đi nào được định giá theo local vol đều được đảm bảo không mâu thuẫn với giá vanilla quan sát được. Bạn có một mô hình thống nhất thay vì các điều chỉnh ad-hoc.
Điều cần lưu ý: local vol dự đoán sai động lực smile (biến động là xác định, nên nó không thể gây bất ngờ). Trên thực tế, các bàn giao dịch dùng stochastic local vol (SLV) — local vol để đạt độ chính xác hiệu chỉnh, cộng với một thành phần ngẫu nhiên để có động lực thực tế.
Đi tiếp đến đâu:
Tham số hóa SVI — mô hình dùng để xây dựng bề mặt ngụ ý đưa vào Dupire
Mô hình SABR — một lựa chọn thay thế biến động ngẫu nhiên với động lực tốt hơn
Các phương pháp nội suy — so sánh tất cả các phương pháp