Mô hình khuếch tán có bước nhảy Kou từ đầu
1/5Các bước nhảy của Merton quá đối xứng
Merton sử dụng các bước nhảy lognormal. Phân phối kích thước bước nhảy là một đường cong hình chuông duy nhất, tâm ở đâu đó. Bước nhảy lên và bước nhảy xuống được lấy từ cùng một họ. Đó là một vấn đề.
Các cú sập thực tế sắc bén hơn các đợt tăng. Việc depeg của một stablecoin không giống hình ảnh phản chiếu của một short squeeze. Khoảng trống -20% xảy ra trong một block duy nhất. Đợt tăng +20% mất một tuần. Bạn cần một mô hình trong đó đuôi trái và đuôi phải được kiểm soát riêng biệt.
Kou (2002) khắc phục điều này bằng cách thay phân phối jump lognormal bằng một phân phối mũ kép. Các up-jump suy giảm với một tốc độ. Các down-jump suy giảm với một tốc độ khác. Hai nút điều chỉnh riêng biệt cho hai đuôi riêng biệt.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
Trong Kou: kích thước jump Y = ln(J) tuân theo một phân phối mũ kép với các tốc độ suy giảm riêng cho giá trị dương và âm.
Hệ quả thực tế: trong Merton, khi bạn làm dốc cánh trái của smile (bằng cách làm μJ âm hơn), bạn cũng kéo theo cánh phải. Phân phối chuẩn đối xứng qua giá trị trung bình của nó. Kou tách rời hoàn toàn hai cánh.
Hàm mũ kép
Kích thước bước nhảy Y có mật độ được tạo từ hai nửa hàm mũ nối với nhau tại số không. Mỗi nửa suy giảm theo tốc độ riêng của nó. Đây là cải tiến cốt lõi.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ kiểm soát tốc độ suy giảm của down-jump. η₂ nhỏ nghĩa là các down-jump có thể lớn (đuôi trái dày). Down-jump trung bình = 1/η₂.
p là xác suất một jump nhất định đi lên.
Kéo các tham số bên dưới và quan sát mật độ thay đổi. Thí nghiệm quan trọng: đặt η₁ lớn hơn nhiều so với η₂. Đuôi phải (up-jump) trở nên mỏng và tập trung gần 0, trong khi đuôi trái (down-jump) kéo dài ra xa. Đó là hình dạng của rủi ro sụp đổ.
Ba thử nghiệm để thử:
1. Đặt η₁ = η₂ = 5, p = 0.5. Mật độ đối xứng. Cả hai đuôi giống hệt nhau. Điều này về bản chất tương đương với Merton với jump trung bình bằng 0.
2. Đặt η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3. Đuôi trái dày, đuôi phải mỏng, hầu hết các jump đi xuống. Chế độ sụp đổ điển hình.
3. Đẩy p về phía 0.9. Hầu hết các jump đi lên, nhưng những down-jump xảy ra vẫn được chi phối bởi η₂ một cách độc lập.
Vì sao bước nhảy bất đối xứng quan trọng
Tỷ lệ giữa η₁ và η₂ cùng với tham số p cùng nhau điều khiển skew của smile biến động ngụ ý. Quan trọng là, chúng điều khiển từng cánh một cách độc lập.
Hãy xem xét một crypto token. Một cú sập depeg diễn ra nhanh và sâu — điều đó có nghĩa là một η₂ nhỏ (đuôi trái béo). Diễn biến giá tăng bình thường diễn ra từ từ — điều đó có nghĩa là một η₁ lớn (đuôi phải mỏng). Smile thu được có cánh put dốc và cánh call thoải. Chính xác những gì bạn thấy trên thị trường.
Trong trình khám phá bên dưới, hãy quan sát cách chỉ thay đổi η₂ làm cánh trái dốc hơn mà không di chuyển cánh phải. Sau đó thử thay đổi η₁ — nó làm dốc cánh phải một cách độc lập. Đây là lợi thế thực tiễn của Kou: bạn fit từng cánh với thị trường riêng biệt.
Tại sao p quan trọng đối với skew: nếu p = 0.3 (hầu hết các cú nhảy đi xuống), cánh trái phình ra vì các OTM put đang chứng kiến một dòng liên tục rủi ro nhảy xuống. Cánh phải yên ắng hơn — ít cú nhảy rơi vào đó.
Tại sao tỷ lệ η quan trọng đối với skew: ngay cả với p = 0.5 (xác suất nhảy bằng nhau), nếu η₂ nhỏ hơn nhiều so với η₁, các cú nhảy xuống trung bình lớn hơn nhiều. Điều đó nâng cánh put lên vì cùng một số cú nhảy xuống lại bao phủ nhiều hơn cho mỗi cú nhảy.
Lợi thế dạng đóng
Phân phối mũ có một tính chất đặc biệt: nó không nhớ (memoryless). Nếu bạn biết một cú nhảy vượt qua một rào cản x nào đó, phần vượt quá (cú nhảy − x) có phân phối giống hệt như một cú nhảy mới. Đây chính là điều mang lại cho Kou các mức giá barrier ở dạng đóng.
Hãy nghĩ về những gì một barrier option cần: bạn cần biết phân phối của nơi giá rơi xuống sau khi nó vượt qua rào cản. Với các cú nhảy Gaussian (Merton), phân phối phần vượt quá rất rối rắm — nó phụ thuộc vào việc bạn đã vượt qua rào cản bao xa. Với các cú nhảy mũ, phần vượt quá là không nhớ: phân phối có điều kiện khi đã vượt qua rào cản giống với phân phối không điều kiện. Điều này làm cho phần toán học trở nên khả thi.
Kết quả: Kou (2004) đã suy ra các nghiệm dạng đóng cho các barrier knock-in/knock-out, quyền chọn lookback và quyền chọn Mỹ vĩnh viễn. Merton không có những công thức như vậy. Nếu bạn định giá các sản phẩm exotic và cần các Greeks giải tích, Kou thắng.
Bảng bên trái hiển thị toàn bộ mật độ mũ với một ngưỡng x được đánh dấu. Vùng tô bóng là xác suất vượt quá x. Bảng bên phải hiển thị mật độ có điều kiện của phần vượt quá (Y − x), given Y > x. Trượt ngưỡng xung quanh: mật độ có điều kiện luôn có cùng hình dạng với ban đầu. Đó chính là tính chất không nhớ.
Di chuyển η và để ý cả hai bảng đều được co giãn lại giống hệt nhau. Hình dạng của phần vượt quá không bao giờ phụ thuộc vào nơi bạn đặt ngưỡng. Đối với việc định giá barrier, điều này có nghĩa là phân phối phần vượt quá tại rào cản được biết một cách giải tích — không cần mô phỏng.
Kou vs Merton vs Heston
Mỗi mô hình có một vai trò. Hiểu Kou đứng ở đâu so với Merton và Heston là mảnh ghép cuối cùng.
Kou: các cú nhảy bất đối xứng, điều khiển cánh độc lập, exotics dạng đóng. Tốt nhất cho các thị trường có bất đối xứng sập giá rõ rệt (crypto, cổ phiếu đơn lẻ) và khi bạn cần giá barrier hoặc lookback dạng giải tích.
Merton: đơn giản hơn, các cú nhảy đối xứng. Ít tham số hơn. Đủ tốt khi smile gần như đối xứng hoặc khi bạn chỉ định giá vanilla. Điểm khởi đầu của ngành đối với các mô hình nhảy.
Heston: biến động ngẫu nhiên, không có cú nhảy. Tạo ra skew thông qua tương quan biến động-giá giao ngay (ρ). Chiếm ưu thế ở các kỳ hạn dài nơi vol-of-vol chi phối cấu trúc kỳ hạn. Không thể tạo ra độ dốc cánh ngắn hạn mà các cú nhảy tạo ra.
Biểu đồ trên xếp chồng các smile Kou và Merton với cùng tổng phương sai nhảy. Cả hai mô hình đều thêm cùng một lượng rủi ro nhảy tổng hợp, nhưng Kou phân bổ nhiều hơn cho đuôi trái. Hãy để ý cách cánh trái của Kou béo hơn (cánh put dốc hơn) trong khi cánh phải của nó mỏng hơn. Merton chia sẻ rủi ro đều hơn.
Black-Scholes: smile phẳng. Không skew, không cánh.
Merton: smile với các cánh (wings). Phân phối bước nhảy đối xứng nghĩa là cả hai cánh di chuyển cùng nhau. Phù hợp cho các quyền chọn vanilla ngắn hạn.
Kou: smile với các cánh độc lập. Phân phối bước nhảy bất đối xứng. Công thức đóng cho barrier và lookback. Phù hợp hơn với crypto.
Heston: smile từ biến động ngẫu nhiên. Tồn tại ở các kỳ hạn dài. Không có bước nhảy, nên các cánh ngắn hạn quá phẳng.
Bates: Heston + bước nhảy Merton. Mô hình chủ lực. Với các ứng dụng khắt khe nhất, hãy thay thành phần bước nhảy Merton bằng bước nhảy double exponential kiểu Kou.
Đi tiếp đến đâu:
Merton Jump-Diffusion — tiền thân với bước nhảy đối xứng
Variance Gamma — một mô hình thuần bước nhảy hoàn toàn không có khuếch tán
Heston Model — biến động ngẫu nhiên, không có bước nhảy
Bates Model — Heston + bước nhảy: mô hình chủ lực của ngành