Heston từ con số 0
1/5Phương sai là một thực thể sống
Black-Scholes coi biến động như một con số cố định được đóng dấu lên hợp đồng. Nó không bao giờ thay đổi. Thế giới rõ ràng không vận hành như vậy. Heston khắc phục điều này bằng cách cho phương sai một phương trình vi phân ngẫu nhiên riêng.
Trong Black-Scholes, giá spot tuân theo một SDE với một hằng số σ. Mọi quyền chọn, mọi giá thực hiện, mọi ngày đáo hạn đều dùng cùng một biến động. Mô hình nhất quán nội tại nhưng sai: thị trường báo một σ khác nhau cho mỗi giá thực hiện. Đó là nụ cười, và BS không thể tạo ra nó.
Hãy hình dung giá spot là một chiếc ô tô và phương sai là mặt đường. Trong BS, con đường ở đâu cũng là nhựa đường phẳng lì hoàn hảo. Trong Heston, chính mặt đường thay đổi -- lúc là sỏi, lúc là băng, lúc là nhựa mới. Chiếc xe phản ứng với bất kỳ mặt đường nào nó đang chạy. Đường càng gồ ghề, hành trình càng xóc.
Heston nói rằng: spot di chuyển như BS nhưng với một biến √v thay vì hằng số σ. Và phương sai tuân theo quá trình căn bậc hai hồi quy về trung bình của riêng nó:
Dòng thứ hai: phương sai có drift riêng của nó (kéo về θ) và nhiễu riêng của nó (được co giãn bởi σ).
Dòng thứ ba: hai chuyển động Brown có tương quan với nhau. Đây chính là động cơ đằng sau skew.
Phương trình thứ hai đó là một quá trình CIR (Cox-Ingersoll-Ross) -- cùng quá trình được dùng cho lãi suất. Nó có một sàn tích hợp sẵn: số hạng khuếch tán √v co lại khi v tiến về không, điều này ngăn phương sai trở nên âm (trong những điều kiện phù hợp).
Kết quả: biến động có thể tăng vọt, suy giảm, tụ cụm và di chuyển cùng chiều với giá spot. Tất cả các mẫu hình đó đều thấy được trên thị trường thực. BS không thể tái tạo mẫu hình nào trong số đó. Heston thì có thể.
Năm tham số
Heston có đúng năm tham số tự do. Mỗi tham số kể một câu chuyện riêng về hành vi thị trường. Hãy học cách đọc chúng như một bảng điều khiển.
κ (kappa) -- tốc độ hồi quy về trung bình. Phương sai bị kéo về mức dài hạn của nó mạnh đến đâu. κ cao nghĩa là các đợt tăng vọt vol chỉ tồn tại ngắn: quá trình bật trở lại nhanh. κ thấp nghĩa là các chế độ vol kéo dài dai dẳng. Trong crypto,κ có xu hướng thấp -- vol duy trì ở mức cao sau một cú sốc.
θ (theta) -- phương sai dài hạn. Mức mà phương sai hướng về theo thời gian. Nếu bạn lấy √θ, bạn sẽ nhận được xấp xỉ vol ATM kỳ hạn dài. Đối với BTC, con số đó thường ở đâu đó quanh mức 50-70% quy đổi theo năm.
σ (sigma) -- vol-of-vol. Quá trình phương sai tự nó bất thường đến mức nào. Khi σ = 0, không hề có smile nào cả -- bạn quay lại thế giới vol xác định. Khi σ tăng, cả hai cánh của smile đều nâng lên. Hãy nghĩ về nó như: càng nhiều ngẫu nhiên trong phương sai = đuôi càng dày = quyền chọn OTM càng đắt.
ρ (rho) -- tương quan spot-vol. Liên kết về hướng giữa biến động spot và biến động vol. ρ âm nghĩa là spot giảm, vol tăng. Đây là tham số quan trọng nhất đối với skew. Chúng tôi sẽ trình bày sâu về nó trong phần tiếp theo.
v₀ -- phương sai ban đầu. Phương sai đang ở đâu ngay lúc này. Nếu v₀ cao hơn θ, các quyền chọn kỳ hạn ngắn định giá căng thẳng hiện tại trong khi các quyền chọn kỳ hạn dài nghiêng về mức bình thường. Sau một đợt tăng vọt vol, v₀ >θ và cấu trúc kỳ hạn đảo ngược.
Kéo các thanh trượt phía trên. Tập trung vào một tham số mỗi lần. Nhận định lớn nhất: ρ nghiêng smile sang trái hoặc sang phải. σ làm nó rộng ra. κ/θ/v₀ thiết lập mức và cấu trúc kỳ hạn.
Tương quan tạo ra skew như thế nào
Đây là điểm cốt lõi về mặt toán học của Heston. ρ âm nghĩa là khi giá spot giảm, phương sai có xu hướng tăng. Chỉ một mối quan hệ đó đã tạo ra toàn bộ đường smile lệch trái mà bạn thấy trên thị trường cổ phiếu và crypto.
Đây là cơ chế, từng bước một:
1. Spot giảm (dW₁ âm).
2. Bởi vì ρ < 0, dW₂ thường có xu hướng dương.
3. dW dương₂ đẩy phương sai lên.
4. Phương sai cao hơn nghĩa là tài sản cơ sở giờ biến động mạnh hơn.
5. Các quyền chọn bán OTM (giá strike thấp) trở nên có khả năng kết thúc trong tiền cao hơn.
6. Thị trường định giá chúng cao hơn. Cánh trái của nụ cười tăng lên.
Điều ngược lại cũng đúng: spot tăng, biến động giảm. Các quyền chọn phía call mất một phần phần bù biến động. Đó là lý do cánh phải thường phẳng hơn cánh trái.
Nhấp qua lại giữa ba preset phía trên. Sự khác biệt rất ấn tượng:
ρ = −0.7: Skew trái mạnh. Đây là hình dạng của thị trường cổ phiếu và crypto. Bảo hiểm rủi ro giảm giá đắt đỏ vì biến động tăng vọt khi thị trường giảm.
ρ = 0: Nụ cười đối xứng. Không có ưu tiên hướng nào giữa giá spot và biến động. Bạn có được độ cong thuần túy từ vol-of-vol, nhưng không có độ nghiêng.
ρ = +0.3: Skew phải. Các quyền chọn phía tăng giá tương đối đắt đỏ. Điều này hiếm gặp trong thực tế nhưng có thể xảy ra ở thị trường hàng hóa, nơi các cú sốc nguồn cung đẩy cả giá và sự bất định lên cùng nhau.
ρ ánh xạ trực tiếp tới vanna mức độ phơi nhiễm. Vanna là độ nhạy của delta trước những thay đổi của biến động. Khiρ âm mạnh, các quyền chọn bán OTM có vanna dương lớn: delta của chúng trở nên âm hơn khi biến động tăng. Đây là lý do vì sao các vị thế short put trở nên nguy hiểm hơn trong đợt bán tháo -- chúng là short vanna.
Hàm đặc trưng
Hầu hết các mô hình biến động ngẫu nhiên cần mô phỏng Monte Carlo để định giá. Heston có một mẹo: bạn có thể định giá quyền chọn thông qua phép nghịch đảo Fourier của một hàm đặc trưng đã biết. Không cần mô phỏng.
Công thức giá quyền chọn mua Black-Scholes tiêu chuẩn có dạng C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Heston có cấu trúc tương tự:
Đối tượng then chốt là hàm đặc trưng φ(u). Nó mã hóa mọi thứ về phân phối xác suất của giá log-spot tại ngày đáo hạn. Hãy xem nó như dấu vân tay của phân phối trong không gian tần số.
Tại sao cách này hoạt động? Ba bước:
1. Hàm sinh mô-men. Vì SDE Heston là affine (tuyến tính theo các biến trạng thái), hàm sinh mô-men của nó có thể được giải ở dạng đóng. Đây là sự tình cờ toán học khiến Heston trở nên đặc biệt.
2. Hàm đặc trưng = MGF trên trục ảo. Hàm đặc trưng là φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). Một khi đã có MGF, bạn có φ.
3. Nghịch đảo để lấy mật độ, tích phân để lấy giá. Phép nghịch đảo Fourier tiêu chuẩn khôi phục mật độ trung tính rủi ro từ φ. Tích phân mật độ đó với payoff cho bạn giá quyền chọn. Tích phân là một chiều và hội tụ trong vài micro giây.
Kết quả: một đường smile hoàn chỉnh được tính trong vài mili giây, không phải vài phút. Điều đó khiến việc hiệu chuẩn trở nên khả thi. Bạn có thể khớp năm tham số với một đường smile quan sát được bằng cách tính tích phân này hàng nghìn lần bên trong một bộ tối ưu hóa.
Trước Heston (1993), các mô hình biến động ngẫu nhiên đã tồn tại nhưng không thực tế -- bạn phải mô phỏng các đường đi để định giá một quyền chọn đơn lẻ. Hàm đặc trưng của Heston đã làm cho biến động ngẫu nhiên có thể sử dụng được trên bàn giao dịch. Mọi mô hình kế thừa (Bates, double Heston, rough Bergomi) đều cố gắng bảo tồn hoặc xấp xỉ cấu trúc định giá Fourier này.
Khi Heston gặp giới hạn
Heston thanh lịch, nhưng có những giới hạn thực sự. Quá trình phương sai có thể chạm mức 0, hình dạng smile quá cứng nhắc đối với crypto, và bài toán khớp năm tham số là một bãi mìn các cực trị cục bộ.
Điều kiện Feller. Để phương sai luôn dương ngặt, bạn cần:
Trong thực tế, các tham số Heston được khớp thường vi phạm điều kiện Feller. Thị trường muốn nhiều vol-of-vol hơn (σ) so với mức điều kiện Feller cho phép. Khi bị vi phạm, quá trình phương sai có thể chạm không và phải được "phản xạ" hoặc "hấp thụ" -- điều này gây ra những rắc rối về số học và khiến mô hình kém đáng tin cậy hơn ở các cánh.
Tăng σ lên và quan sát điều kiện Feller bị phá vỡ. Các đường màu đỏ chạm mức 0. Trong một engine định giá thực, những lần chạm 0 đó đòi hỏi xử lý đặc biệt, làm chậm tính toán và gây ra các sai số tinh vi.
Nụ cười crypto quá dốc. Các quyền chọn crypto kỳ hạn ngắn thường có skew cực dốc và các cánh rộng. Quá trình phương sai CIR của Heston quá mượt để nắm bắt điều này. Hành vi cánh của mô hình tiệm cận một độ dốc không đổi, nhưng các cánh crypto thực tế còn dốc hơn thế. Đây là lý do vì sao các bàn giao dịch crypto dùng SVI hoặc SSVI để fit bề mặt và xem Heston như một công cụ khái niệm, không phải một công cụ fit dùng cho production.
Việc fit năm tham số không ổn định. Các tổ hợp tham số khác nhau có thể tạo ra những smile gần như giống hệt nhau. Bộ tối ưu hóa có nhiều điểm cực tiểu cục bộ. Các lần calibrate hàng ngày có thể nhảy giữa những bộ tham số cực kỳ khác nhau trong khi vẫn cho ra giá tương tự. Điều này khiến việc phòng hộ trở nên không đáng tin cậy vì các Greeks phụ thuộc vào bộ tham số mà bạn rơi vào.
Các mở rộng khắc phục những vấn đề này:
Bates = Heston + jumps. Việc thêm một thành phần jump vào quá trình spot cho bạn những cánh (wing) ngắn hạn dày hơn mà không cần đến các giá trị σ bất hợp lý. Cường độ và kích thước jump thêm vào các tham số phụ, nhưng hàm đặc trưng vẫn có dạng bán đóng.
Stochastic local vol (SLV). Kết hợp phương sai ngẫu nhiên kiểu Heston với một lớp phủ local vol. Bạn có được sự calibrate chính xác với bề mặt quan sát được (từ local vol) cùng với động lực học thực tế (từ thành phần ngẫu nhiên). Đây là thứ mà nhiều desk trong production thực sự chạy.
Rough Bergomi. Thay thế quá trình phương sai CIR trơn tru bằng chuyển động Brown phân đoạn (tham số Hurst H gần 0.1). Các đường phương sai trở nên gồ ghề và răng cưa, khớp với hành vi biến động quan sát được tốt hơn nhiều. Cái giá phải trả: không có hàm đặc trưng dạng đóng.
Nên tìm hiểu tiếp:
Tham số hóa SVI -- tiêu chuẩn khớp smile cho bề mặt biến động crypto
Mô hình SABR -- biến động ngẫu nhiên không có hồi quy về trung bình, khớp đơn giản hơn
Rough Bergomi -- biến động ngẫu nhiên phân thứ, đường đi gồ ghề
Các phương pháp nội suy -- so sánh tất cả các phương pháp