Khuếch tán dịch chuyển từ con số 0
1/5Dịch gốc tọa độ, có ngay smile
Black-Scholes giả định giá spot khuếch tán theo phân phối lognormal từ mức hiện tại. Displaced diffusion (khuếch tán dịch chuyển) chỉ thay đổi một điều: dịch gốc tọa độ. Quá trình khuếch tán vẫn là lognormal, nhưng trục mà nó vận động đã bị dịch đi.
Phương trình SDE cực kỳ đơn giản:
Đó là toàn bộ mô hình. Chỉ thêm một tham số d vào BS chuẩn. Hệ số khuếch tán tỷ lệ với (S + d) thay vì chỉ S. Sự dịch chuyển đó phá vỡ tính đối xứng của smile lognormal và tạo ra skew.
Tại sao dịch gốc tọa độ lại tạo ra skew? Vì độ biến động theo phần trăm của biến đã dịch chuyển là σ, nhưng độ biến động theo phần trăm của chính S thay đổi theo mức giá. Khi S thấp, S + d tương đối lớn so với S, nên vol hiệu dụng tính theo phần trăm sẽ cao hơn. Khi S cao, mức dịch chuyển d ít quan trọng hơn, và bạn tiến gần về trường hợp BS.
Hãy hình dung bạn đang đo lường từ một điểm không khác. Thay vì đo từ 0, bạn đo từ −d. Tài sản cơ sở không thay đổi, nhưng thước đo đã đổi. Chỉ riêng việc thay đổi hệ quy chiếu đó đã đủ tạo ra một smile nghiêng.
Tham số dịch chuyển
Mức dịch chuyển d là núm điều chỉnh duy nhất bạn có. Nó kiểm soát hướng và độ lớn của skew. Hiểu nó làm gì tức là hiểu toàn bộ mô hình.
d > 0 (dịch chuyển dương): Gốc tọa độ dịch sang phải. Với một σ cho trước, mức giá thấp có vol hiệu dụng lớn hơn (vì S + d lớn so với S), trong khi mức giá cao có vol nhỏ hơn. Kết quả: đường biến động ngụ ý dốc xuống từ trái sang phải. Đây là skew âm -- cùng chiều với thị trường cổ phiếu và crypto.
d < 0 (dịch chuyển âm): Gốc tọa độ dịch sang trái. Giờ mức giá cao có vol lớn hơn theo tỷ lệ. Kết quả: skew dương. Trường hợp này hiếm gặp nhưng có thể mô hình hóa các thị trường mà vol tăng theo giá (ví dụ một số hàng hóa).
d = 0: Không dịch chuyển. Bạn quay lại Black-Scholes. Smile phẳng.
Hãy kéo thanh trượt ở trên. Chú ý smile nghiêng dần khi bạn tăng d. Smile của displaced diffusion không có độ cong -- nó gần như tuyến tính ở hai cánh. Đây là hạn chế căn bản: DD tạo được độ nghiêng nhưng không tạo được hình chữ U như trên thị trường thực.
Displaced diffusion = Black-Scholes dịch chuyển
Đây là điểm mấu chốt về mặt vận hành khiến DD hữu dụng: bạn không cần công thức định giá mới. Bạn chạy Black-Scholes chuẩn với đầu vào đã dịch chuyển. Thay S bằng (S + d) và K bằng (K + d). Xong.
Logic rất đơn giản. Định nghĩa S̃ = S + d. Khi đó SDE trở thành dS̃ = σ·S̃·dW, đây chỉ là chuyển động Brown hình học cho biến đã dịch chuyển. BS tiêu chuẩn áp dụng cho S̃ với giá thực hiện K̃ = K + d.
Đây là lý do DD được các bàn giao dịch lãi suất áp dụng rất nhanh trong thời kỳ lãi suất âm. Họ không cần phần mềm mới. Họ thêm một mức dịch chuyển vào đầu vào và giữ nguyên toàn bộ hạ tầng Black-Scholes. Mức dịch chuyển thường được hiệu chỉnh mỗi ngày một lần từ vol hòa vốn (ATM) và một điểm bổ sung.
Các Greeks cũng dịch chuyển theo. Delta là delta BS của quyền chọn đã dịch chuyển. Gamma là gamma BS. Vega là vega BS. Điểm tinh tế duy nhất là bạn cần điều chỉnh các độ nhạy về hệ tọa độ gốc (chưa dịch chuyển) khi tính toán phòng hộ (hedge).
Liên hệ với CEV và SABR
Displaced diffusion là phiên bản tuyến tính hóa của mô hình CEV. SABR với β = 1 cùng một tham số dịch chuyển xấp xỉ bằng displaced diffusion. Hiểu mối liên hệ này cho bạn biết chính xác vị trí của DD trong hệ thống phân cấp mô hình.
CEV (độ co giãn phương sai không đổi) sử dụng dS = σ·Sᵝ·dW trong đó β là độ đàn hồi. Khi β = 1, đó là BS. Khi β < 1, biến động cao hơn ở S thấp và thấp hơn ở S cao -- cùng hành vi định tính như DD.
Mối liên hệ: khai triển Taylor bậc nhất của Sᵝ quanh S = F cho xấp xỉ (S + d) với một d cụ thể phụ thuộc vào β và F. Vì vậy DD là xấp xỉ tuyến tính hóa của CEV quanh forward. Chúng tạo ra các nụ cười gần như giống hệt nhau gần ATM và phân kỳ ở các cánh xa.
Chú ý hai đường cong trùng nhau gần vùng hòa vốn (ATM) nhưng tách ra ở hai cánh. DD tạo ra smile gần như tuyến tính theo giá strike. CEV tạo ra độ cong vì khung lũy thừa (power-law) bị uốn. Trong hầu hết mục đích thực tế trong phạm vi vài giá strike quanh ATM, hai mô hình có thể thay thế cho nhau.
Liên hệ với SABR: Mô hình SABR với β = 1 là SABR lognormal. Thêm một mức dịch chuyển vào giá forward (shifted SABR) cho bạn SABR(β = 1) trên biến đã dịch chuyển. Ở giới hạn vol-of-vol bằng không (ν = 0), mô hình này quy về đúng displaced diffusion. Vậy DD là trường hợp suy biến của shifted SABR -- thành viên đơn giản nhất trong họ mô hình đó.
Đây là lý do DD được gọi là cách đơn giản nhất để thêm skew vào BS. Bạn có thêm một tham số, một hướng nghiêng, và tương thích hoàn toàn với hạ tầng BS sẵn có. Nếu cần độ cong, cánh smile, hay động lực học ngẫu nhiên, bạn nâng cấp lên CEV, SABR hoặc Heston.
Khi nào là đủ
DD là phần mở rộng một tham số của Black-Scholes. Đó vừa là điểm mạnh vừa là hạn chế của nó. Hãy biết khi nào nên dùng và khi nào nên chuyển sang mô hình khác.
Dùng DD khi:
1. Bạn cần điều chỉnh skew nhanh mà không cần một mô hình đầy đủ. Báo giá skew sơ bộ cho một cuộc trao đổi ở bàn giao dịch, kiểm tra tính hợp lý của một mô hình phức tạp hơn, hoặc định giá một danh mục vanilla nơi độ nghiêng quan trọng hơn cánh smile.
2. Tài sản cơ sở của bạn có thể về không hoặc âm (lãi suất, spread). Mức dịch chuyển giữ cho biến đã dịch chuyển luôn dương ngay cả khi biến gốc vượt qua mức không. Đây là trường hợp sử dụng kinh điển -- các bàn giao dịch lãi suất thời kỳ lãi suất âm sống nhờ shifted lognormal.
3. Bạn muốn giữ nguyên hạ tầng BS hiện có. Không cần phương pháp số mới, không Monte Carlo, không nghịch đảo Fourier. Chỉ cần dịch chuyển đầu vào.
Vượt qua DD khi:
1. Bạn cần độ cong của smile. DD tạo ra skew gần như tuyến tính. Thị trường thực có smile hình chữ U với độ lồi ở cả hai cánh. DD không nắm bắt được điều đó.
2. Bạn cần hành vi smile động. DD là mô hình tĩnh -- mức dịch chuyển cố định. Nó không nói gì về cách smile dịch chuyển khi giá spot thay đổi. Để phòng hộ động, bạn cần SABR, Heston hoặc SLV.
3. Bạn định giá quyền chọn exotic. Quyền chọn phụ thuộc đường đi cần một mô hình mô tả động lực học của vol, chứ không chỉ một ảnh chụp tức thời. DD không có động lực học vol.
Riêng với crypto, DD quá đơn giản. Smile của crypto dốc, cong và biến động liên tục. DD có thể cho bạn một độ nghiêng sơ bộ ban đầu, nhưng bất kỳ bề mặt biến động nào dùng trong thực tế sẽ sử dụng SVI, SABR, hoặc một mô hình tinh vi hơn.
Hãy hình dung hệ thống phân cấp mô hình như một chiếc thang: Black-Scholes (smile phẳng) → displaced diffusion (smile nghiêng) → CEV/SABR (smile cong có động lực học) → Heston/SLV (vol ngẫu nhiên với cấu trúc phong phú). Mỗi bậc thêm độ phức tạp nhưng cũng thêm khả năng giải thích. DD là bậc đầu tiên phía trên BS. Nó đáng để biết dù bạn không bao giờ dùng trong thực tế, vì nó dạy bạn rằng skew về bản chất là cách độ biến động thay đổi theo mức giá của tài sản cơ sở.
Tiếp theo nên đọc:
Mô hình CEV -- người anh em phi tuyến của DD, với smile cong
Mô hình SABR -- vol ngẫu nhiên trên một khung nền, tiêu chuẩn dùng trong thực tế
Tham số hóa SVI -- khớp smile trực tiếp, tiêu chuẩn của crypto