CEV từ đầu

1/5

Phần 1

Một tham số điều khiển toàn bộ backbone

CEV có lẽ là mô hình đơn giản nhất tạo ra skew. Một số mũ -- β -- quyết định cách hệ số khuếch tán co giãn theo mức giá spot. Đó là toàn bộ mẹo.

Trong Black-Scholes, SDE của spot là dS = σ·S·dW. Số hạng nhiễu tỷ lệ với S, nên biến động phần trăm là hằng số. CEV tổng quát hóa điều này thành:

Động lực học CEV

dS = σ·S·^β·dW

β = 1: bạn thu được Black-Scholes (lognormal). Biến động phần trăm là hằng số.
β = 0: bạn có mô hình Bachelier / normal. Khuếch tán là σ·dW -- nhiễu cộng, hoàn toàn không phụ thuộc vào giá.
0 < β < 1: một mức nằm giữa. Khuếch tán tăng theo S, nhưng chậm hơn tỷ lệ thuận.

Mô hình tư duy

Hãy hình dung β như một núm vặn trên bàn trộn âm thanh. Vặn hết sang phải (β = 1) bạn có thế giới lognormal -- những dao động phần trăm không đổi. Vặn hết sang trái (β = 0) bạn có thế giới normal -- những dao động đô la không đổi. Mọi thứ ở giữa là một sự pha trộn. Mô hình không quan tâm đến jump, chế độ thị trường, hay biến động ngẫu nhiên. Nó chỉ hỏi: kích thước của cú sốc ngẫu nhiên phụ thuộc vào mức giá như thế nào?

Biến động phần trăm dưới CEV là σ·S^β−1. Khi β < 1, số mũ là âm, nên biến động phần trăm tăng khi S giảm. Đó là hiệu ứng đòn bẩy, và nó là toàn bộ động cơ đằng sau skew của CEV. Không có tham số bổ sung, không có nguồn nhiễu bổ sung. Chỉ là số mũ.

β Phổ

Black-Scholes / Log-chuẩn

β = 1.0

dF = σ · F · dW

Khuếch tán tỷ lệ với F. Đây là chuyển động Brown hình học thông thường. Biến động theo phần trăm là hằng số. Đường smile của biến động ngụ ý phẳng — hoàn toàn không có skew.

Phần 2

β < 1 nghĩa là biến động tăng khi spot giảm

Đây là hiệu ứng đòn bẩy. Trong thị trường cổ phiếu và crypto, biến động luôn tăng khi spot giảm. CEV với β < 1 nắm bắt điều này một cách cơ học, mà không cần đến yếu tố ngẫu nhiên thứ hai.

Nếu β = 0.5, hàm biến động cục bộ là σ·√S. Khi S giảm từ 100 xuống 50, biến động cục bộ không giảm theo tỷ lệ -- nó chỉ giảm còn √(50/100) ≈ 0.71. Nhưng spot đã giảm một nửa. Biến động phần trăm thực ra lại tăng.

Hiệu ứng này tự động và tất định. Không có tham số tương quan để điều chỉnh, không có chuyển động Brown thứ hai. Mối quan hệ giá-biến động được tích hợp sẵn trong số mũ duy nhất β.

Điều này tạo ra skew âm trong biến động ngụ ý mà không cần bất kỳ tham số bổ sung nào. Khi thị trường giảm, biến động tăng một cách cơ học, nên các quyền chọn bán OTM trở nên có giá trị hơn. Cánh put của nụ cười được nâng lên.

Trình mô phỏng hiệu ứng đòn bẩy

Đường giá CEV

Biến động thực tế vs mức giá

β0.50

β = 0.50 — Hiệu ứng đòn bẩy vừa phải

Trình mô phỏng ở trên cho thấy điều đó rõ ràng. Bảng trái: các đường giá CEV. Khi β < 1, các đường giảm trở nên nhiễu hơn một cách rõ rệt -- dao động rộng hơn ở các mức thấp hơn. Bảng phải: biến động thực hiện theo cửa sổ được vẽ theo mức giá. Độ dốc âm chính là hiệu ứng đòn bẩy.

Đặt β = 1 và biểu đồ phân tán trở nên phẳng. Không có sự phụ thuộc giá-biến động. Đó là thế giới Black-Scholes.

Đặt β > 1 và mối quan hệ đảo ngược: biến động tăng theo giá. Điều này bất thường trong thực tế, nhưng nó cho bạn thấy toàn bộ phạm vi của mô hình.

Vì sao trader quan tâm

Hiệu ứng đòn bẩy không chỉ là một điểm thú vị của mô hình. Nó có thể quan sát được trong dữ liệu thực tế đối với cổ phiếu, tín dụng và crypto. Khi thị trường bán tháo, vol thực tế tăng vọt. CEV cho rằng điều này không phải vì vol có quy trình ngẫu nhiên riêng -- mà vì hệ số khuếch tán phụ thuộc một cách cơ học vào mức giá. Đây là lời giải thích rẻ nhất có thể cho skew.

Phần 3

Nụ cười biến động ngụ ý từ CEV

CEV tạo ra một hình dạng biến động ngụ ý cụ thể được điều khiển hoàn toàn bởi β. Hình dạng là một độ nghiêng, không phải hình chữ U. CEV có thể tạo skew nhưng không thể tạo ra một nụ cười đối xứng.

Ánh xạ rất đơn giản:

β = 1: Nụ cười phẳng. Không có skew, không có độ cong. Đây là Black-Scholes.

β < 1: Skew âm. Cánh put được nâng lên, cánh call bị hạ xuống. β càng nằm dưới 1, skew càng dốc.

β > 1: Skew dương. Cánh call tăng lên, cánh put giảm xuống. Hiếm gặp trong thị trường cổ phiếu/crypto nhưng có thể xảy ra ở một số thị trường hàng hóa.

Điều then chốt, nụ cười từ CEV là đơn điệu. Nó nghiêng theo hướng này hoặc hướng kia, nhưng không có hình chữ U. Không có cơ chế nào để cả hai cánh cùng được nâng lên đồng thời, vì không có vol-of-vol hay phương sai ngẫu nhiên để tạo ra sự làm giàu cánh đối xứng.

β Trình khám phá Backbone

Hàm vol cục bộ

Smile kết quả

β0.50

Chế độ: Dưới log-normal (skew âm)

ATM IV3.0%

Skew put 90/100+0.1%

β0.50

Độ dốc vol cục bộNgược

Trình khám phá ở trên cho thấy cả hai phần: hàm biến động cục bộ σ·S^β ở bên trái, và smile biến động ngụ ý thu được ở bên phải. Kéo β và quan sát chúng di chuyển cùng nhau. Độ dốc của local vol trực tiếp điều khiển độ nghiêng của smile.

Tại β = 1, hàm local vol là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ (tỷ lệ với S). Smile phẳng. Khi β giảm xuống dưới 1, hàm local vol cong xuống ở S cao -- nghĩa là quá trình trở nên ít biến động hơn ở mức giá cao hơn. Smile nghiêng sang trái.

Biến động ngụ ý xấp xỉ

σ_impl(K) ≈ σ·F^β−1 · [1 − ½(1−β) · ln(K/F) + ...]

Số hạng skew đứng đầu là −½(1−β). Khi β < 1, giá trị này âm: các giá strike thấp hơn có biến động ngụ ý cao hơn. Khai triển cho thấy độ dốc skew tuyến tính theo (1−β).

Phần 4

CEV như backbone của SABR

SABR’s forward equation is dF = σ·F^β·dW₁. Đó chính xác là quá trình CEV. SABR chỉ gắn thêm một SDE thứ hai cho chính tham số vol.

Hệ SABR đầy đủ là:

Hệ SABR

dF = σ·F^β·dW₁

dσ = ν·σ·dW₂

corr(dW₁, dW₂) = ρ

Dòng đầu tiên: xương sống CEV. Cùng số mũ β, cùng cơ chế.
Dòng thứ hai: σ giờ đây là ngẫu nhiên. ν (vol-of-vol) kiểm soát mức độ σ dao động. Khi ν = 0, σ là một hằng số và bạn quay lại CEV thuần túy.
Dòng thứ ba: hai chuyển động Brown có tương quan. ρ thêm một độ nghiêng bổ sung lên trên những gì mà β đã cung cấp.

Vậy CEV là nền tảng tất định của SABR. Số mũ β kiểm soát hình dạng xương sống của smile. Sau đó SABR thêm vol ngẫu nhiên lên trên: ν tạo ra độ cong (làm giàu cánh), và ρ thêm một độ nghiêng định hướng bổ sung.

Trong thực tế, các bàn giao dịch lãi suất thường cố định β tại một giá trị quy ước (0.5 cho lãi suất, đôi khi 0 hoặc 1 tùy vào chế độ) và sau đó hiệu chỉnh σ, ν, ρ theo smile quan sát được. Xương sống được chọn một lần; lớp phủ ngẫu nhiên được khớp hàng ngày.

Đường smile CEV vs SABR

β (chung)0.50

ν (SABR)0.40

ρ (SABR)-0.30

CEV (nét liền) — chỉ có backbone, một tham số

SABR (nét đứt) — thêm độ cong từ vol-of-vol

CEV nắm bắt đúng độ nghiêng nhưng không tạo được độ cong. Tham số ν (vol-of-vol) của SABR nâng cả hai cánh lên để tạo hình chữ U. Đặt ν = 0 thì hai đường cong trùng nhau — SABR quay về đúng CEV.

Phần so sánh phía trên làm điều đó trực quan. Đường cong màu xanh lá liền nét là CEV đơn thuần -- một độ nghiêng đơn điệu. Đường cong màu xanh dương đứt nét là SABR với cùng β nhưng ν khác không. SABR thêm độ cong mà CEV không thể tạo ra.

Đặt ν = 0 trong thanh trượt và quan sát các đường cong chồng khít hoàn hảo. Điều đó xác nhận mối quan hệ: SABR với vol-of-vol bằng không chính xác là CEV. Xương sống được chia sẻ chung.

Hiểu biết về hiệu chỉnh

Khi bạn hiệu chỉnh SABR, việc chọn β không phải là vô hại. Nó quyết định bao nhiêu phần của skew quan sát được được quy cho xương sống (vol phụ thuộc giá) so với lớp phủ ngẫu nhiên (ρ nghiêng). Các lựa chọn β khác nhau dẫn đến các ρ phù hợp, điều này ảnh hưởng đến động lực forward và do đó ảnh hưởng đến hành vi phòng hộ. Hiểu CEV một cách độc lập giúp bạn hiểu β thực sự đang làm gì bên trong SABR.

Phần 5

Giới hạn và ứng dụng

CEV quá đơn giản để khớp với các nụ cười thực tế. Nhưng nó là mô hình tư duy đúng đắn để hiểu cách vol phụ thuộc vào giá hoạt động, và nó xuất hiện bên trong mọi lần hiệu chỉnh SABR.

Những gì CEV không thể làm:

Không có độ cong. Các nụ cười thực tế có cả độ nghiêng lẫn độ cong -- cánh put dốc, cánh call được nâng cao. CEV tạo ra độ nghiêng đơn điệu nhưng không có hình chữ U. Nếu bạn cố khớp một nụ cười crypto thực tế chỉ với CEV, bạn sẽ bỏ lỡ hoàn toàn phần cánh.

Không có động lực học cấu trúc kỳ hạn. CEV không có hồi quy về trung bình, không có cụm biến động, không có thay đổi chế độ. Hàm vol cục bộ là tĩnh. Nụ cười kỳ hạn ngắn và kỳ hạn dài có cùng hình dạng, điều này mâu thuẫn với hành vi cấu trúc kỳ hạn quan sát được.

Hấp thụ tại 0. Với β < 1, quá trình có thể chạm về 0 và bị hấp thụ. Đây là một rắc rối kỹ thuật đối với việc định giá và đòi hỏi các điều kiện biên đặc biệt.

Những gì CEV hữu ích:

Giảng dạy hiệu ứng đòn bẩy. Nếu bạn muốn một mô hình để giải thích vì sao vol tăng khi spot giảm, CEV chính là nó. Một tham số, một cơ chế, trực giác rõ ràng.

Lựa chọn backbone SABR. Khi hiệu chỉnh SABR, bạn chọn β trước. Hiểu CEV làm gì một cách độc lập cho bạn biết những gì bạn đang gán cho backbone so với lớp phủ ngẫu nhiên.

Xấp xỉ skew nhanh. Khai triển biến động ngụ ý của CEV cho bạn một mối quan hệ giải tích giữa β và độ dốc của skew. Nếu ai đó báo cho bạn một con số skew, bạn có thể nhẩm ra được β ngụ ý trong đầu.

Tranh luận normal so với lognormal. Trong các thị trường lãi suất, việc lựa chọn giữa quy ước báo giá normal (β = 0) và lognormal (β = 1) là một cuộc tranh luận sôi nổi. CEV biến điều này thành một phổ liên tục thay vì một lựa chọn nhị phân.

Một câu cần nhớ

CEV nói rằng: độ lớn của cú sốc ngẫu nhiên phụ thuộc vào mức giá, và β kiểm soát cách thức. Mọi thứ khác -- skew, hiệu ứng đòn bẩy, backbone SABR -- đều bắt nguồn từ ý tưởng duy nhất đó.

Tiếp theo nên xem:

Mô hình SABR -- phần mở rộng vol ngẫu nhiên sử dụng CEV làm backbone

Tham số hóa SVI -- khớp nụ cười trực tiếp cho các bề mặt production

Mô hình Heston -- một cách tiếp cận vol ngẫu nhiên khác với phương sai hồi quy về trung bình

Phương pháp nội suy -- so sánh tất cả các phương pháp