Black-Scholes từ con số 0

1/7

Phần 1

Quyền chọn mua là gì?

Quyền chọn mua là một lựa chọn: bạn có thể mua sau này tại một mức giá cố định K, hoặc bỏ qua. Chỉ một chi tiết đó tạo nên toàn bộ hình dạng payoff.

Nếu tài sản kết thúc dưới giá thực hiện, bạn bỏ qua quyền chọn. Nếu kết thúc trên, bạn mua tại mức giá cố định rẻ hơn và bỏ túi phần chênh lệch.

Giá spot khi đáo hạn$115

Payoff = max($115 − $100, 0) = $15 — mua ở $100, bán ở $115

Kéo thanh trượt. Dưới K thì payoff bằng không — bạn sẽ không bao giờ thực hiện. Trên K thì payoff tăng từng đô một. Điểm gãy tại K chính là toàn bộ lý do quyền chọn tồn tại.

Ví dụ so sánh

Hãy hình dung việc trả một khoản phí đặt chỗ nhỏ cho vé xem ca nhạc. Nếu giá bán lại tăng vọt, chỗ đặt của bạn có giá trị. Nếu giá vẫn thấp, bạn bỏ qua. Phí quyền chọn (premium) chính là khoản phí đặt chỗ đó.

Phần 2

Năm đầu vào

Trước khi viết công thức, hãy làm cho mỗi ký hiệu trở nên bình thường. Nếu các ký hiệu vẫn bí ẩn, cả mô hình vẫn bí ẩn.

Di chuyển từng thanh trượt bên dưới và quan sát giá call phản ứng. Mỗi đầu vào có một hướng tác động. Hãy cảm nhận nó trước khi ta đặt tên cho công thức.

SGiá spot$100

Vị trí hiện tại của tài sản.

KGiá thực hiện$100

Mức giá bạn có thể mua vào sau này.

TThời gian đến ngày đáo hạn1.00 yr

Quyền chọn còn hiệu lực trong bao lâu.

rLãi suất phi rủi ro5.0%

Số tiền sinh lời trong khi bạn chờ đợi.

σBiến động20%

Khoảng giá tương lai được cảm nhận rộng đến mức nào.

Giá call

$11.91

Put: $7.03

d₁ = 0.3500 · d₂ = 0.1500

Tóm tắt một câu: Black-Scholes định giá một quyền có giá trị phụ thuộc vào việc tài sản đang ở đâu (S), bạn được mua ở đâu (K), bạn có bao lâu (T), tương lai có thể dao động rộng đến đâu (σ), và việc chờ đợi tốn kém bao nhiêu (r).

Phần 3

Hai phần lớn

Hầu hết mọi người gặp công thức cuối cùng trước tiên. Đó là cách ngược. Trước tiên hãy học câu chuyện, rồi đặt các ký hiệu lên trên.

Bấm qua ba lớp bên dưới. Xem tiếng Anh biến thành toán học.

Ý tưởng

giá call = tiềm năng tăng giá như tài sản − chi phí mua sau này

C = S · N(d₁) − K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)

Di chuột qua bất kỳ phần nào của công thức để xem ý nghĩa của nó.

Phần thứ nhất là bạn nhận được bao nhiêu tiềm năng tăng giá giống tài sản cơ sở. Phần thứ hai là những gì bạn phải trả cho nó, đã chiết khấu về hôm nay. Chênh lệch là giá trị của quyền chọn.

N(d₁) và N(d₂) là các trọng số nằm giữa 0 và 1. Chúng đến từ phân phối chuẩn. Ta sẽ mổ xẻ chúng tiếp theo.

Phần 4

d₁ và d₂ là gì?

Phần khiến hầu hết mọi người sợ. Chúng không huyền bí. Chúng là các bảng điểm — đo mức độ thuận lợi của thiết lập quyền chọn, tính theo đơn vị một vòng đời biến động.

N(d) là diện tích dưới đường cong chuông nằm bên trái d. Kéo thanh trượt và xem vùng tô đậm — trọng số — thay đổi như thế nào.

d₁0.35

N(d₁)0.6701

N(d₂)0.5793

d₂ = d₁ − σ√T0.15

Phân tích d₁:

Tử số của d₁

ln(S/K) + (r + σ²/2)T

ln(S/K) — chúng ta đang trên hay dưới giá thực hiện, theo thang log?
(r + σ²/2)T — hiệu chỉnh drift và biến động trong suốt vòng đời của quyền chọn.

Mẫu số của d₁

σ√T

Một vòng đời quyền chọn của biến động. Đây là cây thước bạn dùng để đo mọi thứ. Tử số cho bạn biết thiết lập thuận lợi đến đâu; mẫu số thể hiện điều đó theo đơn vị “dao động”.

d₂

d₂ = d₁ − σ√T

Cùng một bảng điểm, trừ đi một vòng đời đầy đủ của biến động. N(d₁) đánh trọng số cho phần giống tài sản cơ sở. N(d₂) đánh trọng số cho phần thanh toán giá thực hiện.

Phần 5

Làm một ví dụ đầy đủ

Con số làm mọi thứ trở nên thực tế. Bắt đầu với các giá trị mặc định thân thiện, rồi thay đổi đầu vào và xem từng bước trung gian cập nhật.

S

K

T

r

σ

ln(S/K) = ln(100/100) = 0.0000▸

Ngay tại giá thực hiện — không có lợi thế moneyness sẵn có.

(r + σ²/2)T = (0.05 + 0.0200) × 1 = 0.0700▸

Drift + hiệu chỉnh biến động trong suốt vòng đời quyền chọn.

σ√T = 0.2 × 1.0000 = 0.2000▸

Một vòng đời biến động — thước đo.

d₁ = 0.0700 / 0.2000 = 0.3500▸

Thiết lập là 0.35 dao động thuận lợi.

d₂ = 0.3500 − 0.2000 = 0.1500▸

Cùng giá trị, trừ đi một vòng đời biến động.

N(d₁) = 0.6701, N(d₂) = 0.5793

Hai trọng số lấy từ phân phối chuẩn.

C = 100 × 0.6701 − 100 × e^(-0.0500) × 0.5793▸

$67.01 lợi nhuận tiềm năng trừ đi $55.10 chi phí đã chiết khấu.

C = $11.91

Giá call theo Black-Scholes.

Phần 6

Tại sao là giá này mà không phải giá khác

Black-Scholes không phải là một phỏng đoán. Xương sống của nó là sao chép: nếu bạn có thể sao chép một quyền chọn bằng tài sản cơ sở và tiền mặt, thì quyền chọn và bản sao phải có cùng chi phí.

Đơn giản hóa về một kỳ. Tài sản cơ sở đi lên $120 hoặc $80. Call với K = 100 trả $20 hoặc $0. Chúng ta có thể xây một danh mục gồm tài sản cơ sở và tiền mặt khớp chính xác các payoff đó không?

Danh mục sao chép

120Δ + B = 20Khớp payoff ở trạng thái tăng

80Δ + B = 0Khớp payoff ở trạng thái giảm

Δ = 0.5, B = −40Nửa cổ phiếu, vay $40

Cost = 0.5 × 100 − 40 = $10Quyền chọn cũng phải có giá $10 — nếu không sẽ có arbitrage

Bản sao có chi phí $10. Quyền chọn cũng phải có chi phí $10 — nếu không, ai đó mua cái rẻ, bán cái đắt, và kiếm lợi nhuận phi rủi ro. Đó là lý do mô hình được kỷ luật bởi arbitrage, chứ không phải bởi cảm tính.

Black-Scholes là phiên bản mượt mà, thời gian liên tục của lập luận sao chép này — áp dụng vô số lần khi giá tài sản cơ sở thay đổi liên tục.

Phần 7

Viết lại từ trí nhớ

Chạm vào từng thẻ để tự kiểm tra. Nếu bạn điền được cả bốn, bạn đã nắm chắc công thức.

Kiểm tra nhớ nhanh — chạm để xem đáp án:

Đi tiếp tới đâu:

Biến động ngụ ý — sử dụng mô hình ngược từ giá

Tham chiếu Greeks — kết nối giá với độ nhạy phòng hộ

Put-call parity — đẳng thức định giá tiếp theo cần nắm chắc