Sao chép tĩnh từ con số 0

1/5

Phần 1

Mọi payoff đều là tổng của các payoff đơn giản hơn

Mọi biểu đồ payoff phức tạp bạn từng thấy chỉ là một danh mục gồm các mảnh đơn giản hơn. Call, put, hợp đồng kỳ hạn. Hình dạng bạn thấy chính là tổng của các đường payoff riêng lẻ.

Butterfly là ba call. Straddle là một call cộng một put. Collar là tài sản cơ sở cộng một put trừ một call. Không cái nào là exotic. Chúng chỉ là tổ hợp tuyến tính của các quyền chọn vanilla.

Chọn một dạng payoff bên dưới, rồi nhấn Phân rã để xem các mảnh thành phần cộng lại thành đường cong màu xanh lá. Các đường nét đứt là từng chân lệnh riêng lẻ. Chúng cộng lại thành đường xanh lá liền nét.

Long 90C + Long 130C + Short 2x110C

Vì sao điều này quan trọng

Nếu mọi payoff đều là tổng của các payoff đơn giản hơn, thì việc định giá bất kỳ payoff nào quy về việc định giá từng mảnh. Và nếu bạn có thể giao dịch các mảnh đó, bạn có thể sao chép bất kỳ hình dạng nào mà không cần một công cụ thiết kế riêng. Đó là lời hứa cốt lõi của sao chép tĩnh (static replication).

Phần 2

Vanilla như những viên gạch xây dựng

Call spread là hai call. Butterfly là ba. Iron condor là bốn. Với đủ call và put ở đúng các giá strike, bạn có thể xấp xỉ bất kỳ payoff tuyến tính từng khúc nào.

Mỗi quyền chọn vanilla đóng góp một “nút gấp” (kink) vào payoff tổng hợp. Một call tại giá strike K bẻ cong payoff lên trên tại K. Một put tại giá strike K bẻ cong nó lên trên bên dưới K. Mỗi nút gấp làm thay đổi độ dốc theo số lượng của quyền chọn.

Tự xây dựng danh mục của bạn bên dưới. Thêm call và put ở các giá strike khác nhau. Xem payoff tổng hợp cập nhật trực tiếp. Thử tạo một payoff phẳng giữa 90 và 120 và bằng không ở ngoài khoảng đó.

CallPutKSL

CallPutKSL

Nguyên lý then chốt

Combined payoff = Σ q_i · payoff_i(S)

Mỗi chân lệnh đóng góp khối lượng của nó nhân với payoff riêng tại bất kỳ mức giá giao ngay nào. Hình dạng tổng hợp chỉ đơn giản là tổng. Chính tính tuyến tính này khiến việc sao chép trở nên khả thi.

Phần 3

Kết quả Breeden-Litzenberger

Đạo hàm bậc hai của giá call theo giá strike cho ta mật độ xác suất trung hòa rủi ro. Thị trường đang ngầm cho bạn biết xác suất của mọi kết quả có thể xảy ra.

Breeden và Litzenberger (1978) đã chứng minh rằng nếu bạn lấy lưới giá call trên các giá strike và tính độ cong tại mỗi điểm, bạn sẽ khôi phục được hàm mật độ của phân phối trung hòa rủi ro. Không cần mô hình. Chỉ cần giá và phép tính số học.

Breeden-Litzenberger

∂²C / ∂K² = e^−rT · f(K)

f(K) là mật độ xác suất trung hòa rủi ro tại giá strike K. Đạo hàm bậc hai của hàm giá call theo giá strike, nhân với hệ số chiết khấu, CHÍNH LÀ mật độ. Di chuột qua lưới giá bên dưới để xem độ cong tại mỗi strike.

Giá call theo các mức giá thực hiện (S=100, r=5%)

K=60$40.75

K=64$36.80

K=68$32.86

K=72$28.94

K=76$25.06

K=80$21.29

K=84$17.70

K=88$14.42

K=92$11.61

K=96$9.53

K=100$8.50

K=104$6.24

K=108$4.00

K=112$2.56

K=116$1.62

K=120$1.01

K=124$0.63

K=128$0.38

K=132$0.23

K=136$0.14

K=140$0.08

Biến động (σ)30%

Thời gian (T)0.25y

Đường cong xanh lá là mật độ được trích xuất. Đỉnh của nó cho biết nơi thị trường cho rằng tài sản cơ sở nhiều khả năng sẽ chốt giá nhất. Độ rộng của nó cho biết mức độ bất định của thị trường. Hãy tăng độ biến động và xem mật độ phẳng ra và trải rộng.

Đây không phải một ước lượng hay đầu ra của mô hình. Đây là phép trích xuất trực tiếp, không cần mô hình, từ giá thị trường. Giả định duy nhất là giá call khả vi hai lần theo giá strike, điều được thỏa mãn ở bất kỳ thị trường không có arbitrage nào.

Phần 4

Sao chép một quyền chọn nhị phân

Binary call trả $1 nếu trên giá strike, $0 nếu dưới. Bạn có thể xấp xỉ nó bằng một call spread hẹp: mua call tại K, bán call tại K+ε, và co giãn theo 1/ε. Khi độ rộng spread tiến về 0, đoạn dốc trở thành một bậc thang.

Đây là mối liên hệ nền tảng giữa quyền chọn vanilla và quyền chọn nhị phân. Binary là giới hạn của một call spread khi độ rộng spread thu hẹp lại. Tương đương, binary là đạo hàm âm của giá call theo giá strike: D(K) = −∂C/∂K.

Kéo thanh trượt để thu hẹp spread. Xem đường dốc màu xanh dương hội tụ về hàm bậc thang màu xanh lá.

Nhị phân (mục tiêu)Call spread (1/ε) × [C(K) - C(K+ε)]

Độ rộng spread (ε)10.0

Spread rộng. Đoạn dốc là một xấp xỉ kém của quyền chọn nhị phân.Sai số tối đa: 100.0% so với mệnh giá

Từ call spread đến binary

D(K) = lim_ε→0 (1/ε) · [C(K) − C(K+ε)]

Payoff của call spread là một đoạn dốc có chiều cao 1/ε trên độ rộng ε. Khi ε co lại, đoạn dốc dựng đứng thành một hàm bậc thang. Ở giới hạn, nó chính xác là binary. Đây là lý do các nhà tạo lập thị trường phòng hộ binary bằng các vanilla spread hẹp — delta bị chặn, không có đỉnh Dirac.

Phần 5

Sao chép payoff bất kỳ

Carr và Madan (1998) đã chứng minh rằng bất kỳ payoff kiểu châu Âu nào khả vi hai lần đều có thể phân rã thành ba phần: một vị thế kỳ hạn, một dải put OTM dưới giá kỳ hạn, và một dải call OTM trên giá kỳ hạn.

Đây là công thức Carr-Madan. Nó nói rằng độ cong của payoff mục tiêu — đạo hàm bậc hai f″(K) — quyết định bạn cần bao nhiêu của mỗi quyền chọn OTM. Phần tuyến tính của payoff được nắm bắt bởi hợp đồng kỳ hạn. Độ cong được nắm bắt bởi các dải quyền chọn.

Chọn một payoff bên dưới, rồi nhấn Hiển thị phân rã Carr-Madan để xem ba thành phần. Đường màu vàng là thành phần kỳ hạn. Vùng màu đỏ là dải put OTM. Vùng màu xanh dương là dải call OTM. Cộng lại chúng bằng đường mục tiêu màu xanh lá.

Hãy chú ý đường phân chia tại F (giá kỳ hạn). Dưới F, chỉ put đóng góp. Trên F, chỉ call đóng góp. Điều này không phải ngẫu nhiên — dùng quyền chọn OTM giảm thiểu chi phí sao chép vì quyền chọn OTM rẻ hơn quyền chọn ITM với cùng lượng thông tin.

Hàm ý thực tiễn

Phân rã Carr-Madan là nền tảng lý thuyết của variance swap, cách tính VIX, và các chiến lược sao chép danh mục. Công thức VIX thực chất là một xấp xỉ rời rạc của tích phân này. Mỗi khi bạn thấy một “dải quyền chọn”, đây chính là toán học đằng sau nó.

Tiếp theo nên đọc:

Quyền chọn nhị phân — viên gạch xây dựng của các thang sao chép

Phòng hộ delta — phương án động thay thế cho sao chép tĩnh

Biến động ngụ ý — trích xuất kỳ vọng thị trường từ giá