Bates từ con số 0
1/5Heston + bước nhảy = Bates
Heston giải thích smile dài hạn: phương sai ngẫu nhiên tạo ra skew mượt và cấu trúc kỳ hạn. Merton giải thích smile ngắn hạn: các bước nhảy trong quá trình giá tạo ra phần cánh dốc ở các ngày đáo hạn gần. Bates kết hợp cả hai thành một mô hình.
Vấn đề cốt lõi rất đơn giản. Heston biến động liên tục -- giá giao ngay không bao giờ nhảy vọt tức thời. Điều đó nghĩa là chỉ Heston không thể giải thích tại sao một put 25-delta kỳ hạn 1 tuần có thể giao dịch ở mức vol 80% trong khi phiên bản 1 năm giao dịch ở 55%. Độ dốc phần cánh ngắn hạn đòi hỏi thứ mà khuếch tán liên tục không thể tạo ra: các khoảng gap tức thời.
Merton (1976) giải quyết vấn đề gap bằng cách thêm quá trình nhảy Poisson vào chuyển động Brown hình học. Nhưng Merton không có phương sai ngẫu nhiên, nên không thể tái tạo động lực cấu trúc kỳ hạn. Nó định giá tốt một ngày đáo hạn, rồi sụp đổ khi xét toàn bộ đường cong.
Bates (1996) ghép hai mô hình lại với nhau. Kết quả là mô hình chủ lực cho các bàn giao dịch quyền chọn exotic, vốn cần cả động lực thực tế lẫn khả năng định giá dễ tính toán.
Dòng thứ hai: phương sai tuân theo cùng quá trình CIR như Heston. Không có gì thay đổi ở đây.
Dòng thứ ba: cùng cấu trúc tương quan. ρvẫn điều khiển skew mượt mà.
Hãy hình dung một chiếc xe trên con đường gồ ghề (Heston: chất lượng mặt đường thay đổi ngẫu nhiên). Giờ thêm các ổ gà xuất hiện bất chợt (bước nhảy Merton: xe sụt xuống đột ngột). Bạn cần hệ thống giảm xóc cho đoạn gồ ghề và túi khí cho ổ gà. Bates cho bạn cả hai.
Điểm mấu chốt về toán học: vì thành phần bước nhảy độc lập với quá trình phương sai, hàm đặc trưng của Bates chính là hàm đặc trưng Heston nhân với hệ số nhảy Merton. Nghĩa là việc định giá vẫn bán giải tích -- phép nghịch đảo Fourier vẫn hoạt động. Không cần Monte Carlo cho quyền chọn vanilla.
Các tham số bổ sung làm gì
Bates thừa hưởng năm tham số của Heston (κ, θ,σ, ρ, v₀) và thêm ba tham số nhảy:λ (tần suất nhảy), μⱼ (kích thước nhảy trung bình), và σⱼ (biến động nhảy). Tổng cộng tám núm điều chỉnh.
λ (lambda) -- cường độ nhảy. Số lần nhảy kỳ vọng mỗi năm. λ = 0 quay về Heston thuần túy. λ = 2 nghĩa là trung bình khoảng hai lần nhảy mỗi năm. λ cao hơn làm các cánh nâng lên xa hơn vì thị trường định giá nhiều sự kiện gap hơn vào các quyền chọn.
μⱼ (mu-J) -- kích thước nhảy trung bình. Log-return trung bình của một cú nhảy. μⱼ âm nghĩa là các cú nhảy thiên về hướng giảm (các cú nhảy sập giá). Điều này tạo ra sự bất đối xứng: cánh put dốc lên nhiều hơn cánh call. Trong crypto,μⱼ thường nằm giữa −0.05 and−0.15, phản ánh các chuỗi thanh lý và các cú sập giá chớp nhoáng.
σⱼ (sigma-J) -- biến động nhảy. Độ lệch chuẩn của kích thước bước nhảy. Ngay cả khi bước nhảy trung bình bằng 0, giá trị khác 0 của σⱼ vẫn tạo ra sự nâng cánh đối xứng. Đây là độ nhọn dư thuần túy từ các bước nhảy có kích thước ngẫu nhiên. σⱼ lớn hơn nghĩa là đuôi dày hơn.
Bật và tắt các bước nhảy ở trên. Khi bước nhảy tắt, bạn thấy Heston thuần túy (đường đứt nét màu xanh). Bật chúng lên và các cánh sẽ được nâng lên -- đặc biệt là cánh trái, bởi vì μⱼ < 0 làm lệch các bước nhảy xuống dưới. Tăng λ lên 3 hoặc 4 và hiệu ứng trở nên rõ rệt. Đặt μⱼ = 0 và để ý rằng sự nâng lên trở nên đối xứng.
Nhận định quan trọng: ρ (Heston) và μⱼ(các bước nhảy) đều tạo ra skew, nhưng thông qua các cơ chế hoàn toàn khác nhau.ρ tạo ra skew qua tương quan spot-vol, vốn hình thành dần theo thời gian. μⱼ tạo ra skew qua các bước nhảy có hướng, vốn xuất hiện tức thì. Đây là lý do Bates có thể khớp cả kỳ hạn ngắn lẫn kỳ hạn dài đồng thời.
Phân tách cấu trúc kỳ hạn
Smile ngắn hạn chủ yếu do bước nhảy. Smile dài hạn chủ yếu do vol ngẫu nhiên. Sự tách bạch này là lý do Bates tồn tại -- không thành phần nào một mình khớp được toàn bộ cấu trúc kỳ hạn.
Cơ chế là sự chia tỷ lệ phương sai. Phương sai khuếch tán tích lũy tỷ lệ thuận với T: qua một năm, thành phần khuếch tán có thời gian để tích tụ. Phương sai bước nhảy cũng chia tỷ lệ với T (λ · T bước nhảy kỳ vọng), nhưng mỗi bước nhảy riêng lẻ có cùng kích thước bất kể kỳ hạn.
Tại T = 7 ngày, bạn hầu như chưa có thời gian để phương sai khuếch tán tích lũy, nhưng một bước nhảy đơn lẻ vẫn có thể tác động đến bạn với kích thước đầy đủ. Một cú sập −10% trong một tuần có cùng tác động lên payoff như một cú sập−10% trong một năm -- nhưng cú sập đó chiếm một phần lớn hơn nhiều trong tổng chuyển động kỳ vọng qua 7 ngày so với qua 365 ngày.
Ở T = 1 năm, vol ngẫu nhiên đã có thời gian khám phá toàn bộ phân phối của các đường đi phương sai. Hồi quy về trung bình, hiệu ứng cụm vol, và tương quan giá-vol đều phát huy tác dụng. Thành phần bước nhảy vẫn còn đó, nhưng chiếm tỷ trọng nhỏ hơn trong tổng phương sai.
Nhìn vào bốn biểu đồ ở trên. Tại T = 7d, vùng màu đỏ (đóng góp của bước nhảy) chiếm ưu thế ở các cánh. Tại T = 1y, nó chỉ là một dải mỏng. Tăng λ và quan sát điểm giao cắt dịch chuyển -- các bước nhảy thường xuyên hơn đẩy đóng góp của bước nhảy ra xa hơn trên đường cong.
Phép phân tách này có hàm ý giao dịch trực tiếp. Nếu bạn cho rằng rủi ro bước nhảy đang bị định giá sai, hãy giao dịch đầu ngắn của đường cong. Nếu bạn cho rằng động lực phương sai bị định giá sai, hãy giao dịch đầu dài. Bates cho bạn một khung để tách bạch các cược này.
Hiệu chỉnh mô hình Bates
Tám tham số là rất nhiều. Các tổ hợp khác nhau có thể tạo ra smile tương tự, và bộ tối ưu có thể lạc vào vùng bất ổn. Hiệu chỉnh trong thực tế đòi hỏi kỷ luật.
Cách tiếp cận tiêu chuẩn là chiến lược hai giai đoạn:
Giai đoạn 1: cố định những gì quan sát được. v₀ được cố định từ phương sai ngụ ý ATM hiện tại. Tỷ lệ drift r đã biết. Còn lại bảy tham số tự do.
Giai đoạn 2: hiệu chỉnh theo nhóm. Đầu tiên khớp κ, θ, σ, ρ với smile kỳ hạn dài (nơi các bước nhảy đóng góp ít). Sau đó khớpλ, μⱼ, σⱼ với phần dư kỳ hạn ngắn. Lặp lại vài lần để tinh chỉnh.
Cách tiếp cận này hiệu quả vì hai nhóm tham số kiểm soát các phần khác nhau của bề mặt. Tham số Heston định hình đầu dài; tham số nhảy định hình đầu ngắn. Khớp chúng tuần tự giúp giảm số chiều của mỗi bước tối ưu hóa.
Bẫy overfitting. Nhiều tham số hơn luôn cải thiện độ khớp trong mẫu. Nhưng nếu bạn để cả tám tham số dao động tự do, bạn có nguy cơ khớp nhiễu. Dấu hiệu nhận biết: các tham số thay đổi đột ngột từ ngày này sang ngày khác trong khi tạo ra các smile tương tự. Nếu λ dao động giữa 0.5 và 3.0 qua các lần hiệu chỉnh liên tiếp, độ khớp của bạn không ổn định.
Biểu đồ trên cho thấy một so sánh thực tế. Heston (cam, 5 tham số) khớp tốt vùng hòa vốn (ATM) nhưng lệch một cách hệ thống ở các put ngoài tiền (OTM) sâu. Bates (xanh lá, 8 tham số) khớp chuẩn phần cánh vì thành phần bước nhảy nắm bắt được skew ngắn hạn dốc mà Heston không thể chạm tới.
Hãy xem biểu đồ phần dư bên dưới đồ thị chính. Phần dư của Heston lớn và có tính hệ thống ở phần cánh -- mô hình bị thiên lệch, không chỉ nhiễu. Phần dư của Bates nhỏ hơn và ngẫu nhiên hơn. Đó là dấu hiệu của một cải thiện thực sự, không phải overfitting.
Quy tắc kinh nghiệm: nếu thêm 3 tham số giúp giảm SSE hơn 50%, độ phức tạp bổ sung là xứng đáng. Nếu chỉ giảm 10-20%, có lẽ tốt hơn nên giữ Heston và chấp nhận sai số ở phần cánh.
Mô hình chủ lực cho crypto
Bates là mô hình tiêu chuẩn cho các bàn giao dịch exotic crypto vì thị trường crypto thể hiện cả biến động ngẫu nhiên lẫn bước nhảy thường xuyên. Chuỗi thanh lý dây chuyền, mất peg, và sự cố sàn giao dịch tạo ra rủi ro gap thực sự mà chỉ Heston không thể định giá.
Bề mặt biến động crypto có những đặc điểm riêng mà Bates xử lý tốt:
Chế độ vol dai dẳng. BTC có thể duy trì ở 30% IV trong nhiều tuần, rồi bật lên 80% chỉ sau một chuỗi thanh lý dây chuyền. Giá trị thấp củaκ (hồi quy về trung bình chậm) kết hợp với v cao₀nắm bắt môi trường sau cú sốc. Đây là thành phần Heston đang làm nhiệm vụ của nó.
Biến động gap thường xuyên. Một cú sập 10% trong ngày là hiếm gặp ở thị trường cổ phiếu nhưng xảy ra nhiều lần mỗi năm trong crypto. Đây là những bước nhảy thực sự, không chỉ là các chuyển động khuếch tán lớn. Chúng biểu hiện dưới dạng các cánh put kỳ hạn ngắn cực dốc mà không lượngσ (vol-of-vol) nào có thể khớp được. Thành phần bước nhảy xử lý điều này.
Cả hai chiều. Không giống thị trường cổ phiếu nơi các bước nhảy hầu như luôn hướng xuống, crypto cũng có rủi ro gap tăng đáng kể (short squeeze, phê duyệt ETF bất ngờ, niêm yết trên sàn). Đặtμⱼ gần bằng 0 (hoặc thậm chí hơi dương với một số đồng coin) cho phép mô hình nắm bắt rủi ro gap đối xứng.
Phép phân tách phương sai ở trên cho thấy tổng phương sai ATM được chia giữa thành phần khuếch tán và thành phần nhảy như thế nào. Với các tham số crypto điển hình, bước nhảy có thể chiếm 20-40% tổng phương sai. Đó không phải một số hạng hiệu chỉnh -- đó là hiệu ứng bậc nhất.
Vượt ra ngoài Bates: SLV. Bates khớp bề mặt quan sát được tốt hơn Heston, nhưng nó vẫn không thể khớp chính xác mọi giá thực hiện và ngày đáo hạn. Để định giá exotic trong môi trường thực tế, hầu hết các bàn giao dịch phủ thêm một lớp biến động cục bộ lên trên, tạo ra mô hình biến động cục bộ-ngẫu nhiên (SLV). Bates cung cấp động cơ động lực học; biến động cục bộ cung cấp hiệu chỉnh chính xác. Xem tài liệu tham khảo SLV để biết chi tiết.
Khi Bates là quá mức cần thiết: nếu bạn chỉ cần nội suy một smile đơn lẻ cho một ngày đáo hạn đơn lẻ, hãy dùng SVI. Nếu bạn cần một bề mặt đầy đủ mà không cần động lực học, SSVI nhanh hơn và ổn định hơn. Bates xứng đáng với độ phức tạp của nó khi bạn cần động lực học của tài sản cơ sở -- để định giá exotic, phòng hộ các sản phẩm phụ thuộc đường đi, hoặc phân rã smile thành các thành phần kinh tế.
Black-Scholes: không có smile. Một vol duy nhất không khớp được gì.
Heston: động lực smile mượt. Xử lý tốt đầu dài.
Bates: mượt + có bước nhảy. Xử lý tốt cả hai đầu.
SLV: hiệu chỉnh chính xác + động lực. Tiêu chuẩn trong sản xuất.
Mỗi bước thêm độ phức tạp và chi phí hiệu chỉnh. Nghệ thuật nằm ở việc biết khi nào bộ máy bổ sung xứng đáng với chi phí cho trường hợp sử dụng cụ thể của bạn.
Tiếp theo nên đọc:
Heston từ đầu -- tìm hiểu sâu năm tham số của Heston
Tham số hóa SVI -- tiêu chuẩn khớp smile cho bề mặt biến động crypto
SSVI -- tham số hóa toàn bộ bề mặt không có arbitrage
Các phương pháp nội suy -- so sánh tất cả các phương pháp