Bachelier từ con số không

1/5

Phần 1

Đô la, không phải phần trăm

Black-Scholes nói "biến động 10%." Bachelier nói "biến động $10." Đó chính là toàn bộ khác biệt triết lý giữa hai mô hình định giá quyền chọn lâu đời nhất.

Louis Bachelier công bố mô hình của mình năm 1900 -- 73 năm trước Black và Scholes. Ý tưởng của ông cực kỳ đơn giản: biến động giá mang tính cộng và tuân theo phân phối chuẩn. Mô hình chỉ là một phương trình:

Động lực Bachelier

dS = σ_n · dW

σ_n là biến động chuẩn, được đo bằng đô la (hoặc điểm cơ bản) trên căn bậc hai của năm -- không phải phần trăm. dW là bước tăng Brownian chuẩn.

Nếu normal vol là $20, mô hình dự đoán giá có thể biến động khoảng $20 trong một năm. Dù giá bắt đầu ở $40 hay $400, dao động vẫn có cùng độ lớn tính theo đô la. Đó chính là ý nghĩa của "tính cộng" -- nhiễu không tỷ lệ theo mức giá.

Hãy so sánh với Black-Scholes, nơi nhiễu là nhân tính: dS = S·σ·dW. Cùng mức biến động 30% tạo ra biến động $30 trên một tài sản cơ sở $100 nhưng biến động $150 trên một tài sản cơ sở $500. Thước đo bị kéo giãn.

Ẩn dụ cây thước: vạch chia cố định vs vạch chia co giãn

Mức giá$100

Bachelier: $10 là $10 ở mọi nơiBS: 10% co giãn theo giá

Kéo thanh trượt giá. Thước đo Bachelier giữ các vạch chia ở khoảng cách đô la cố định. Thước đo BS co giãn vì mỗi vạch là một tỷ lệ phần trăm cố định của giá hiện tại.

Vì sao điều này quan trọng

Mô hình cộng có thể tạo ra giá âm. Đó là lỗi nếu bạn định giá quyền chọn cổ phiếu. Nhưng lại là ưu điểm với lãi suất (từng âm ở EUR, JPY, CHF) và với spread (vốn có thể mang dấu âm dương). Bachelier đi trước thời đại 73 năm -- "khiếm khuyết" của ông đã trở thành chuẩn ngành cho quyền chọn lãi suất.

Phần 2

Công thức đơn giản hơn bạn nghĩ

Giá call theo Bachelier có ít thành phần hơn Black-Scholes. Không logarit. Không rắc rối hệ số chiết khấu. Chỉ có phép trừ, một tỷ số, và hai lần tra phân phối chuẩn.

Giá call theo Bachelier

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n√T · φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Φ là CDF chuẩn (xác suất nằm dưới một giá trị). φ là PDF chuẩn (chiều cao của đường cong hình chuông). d đo lường spot cao hơn giá thực hiện bao nhiêu lần độ lệch chuẩn -- cùng khái niệm với d₁ trong BS, nhưng theo đơn vị đô la thay vì đơn vị log.

Tách công thức thành hai phần và bạn sẽ dễ nhớ:

Piece 1: (S − K)·Φ(d) -- payoff nội tại, được trọng số theo xác suất. Nếu quyền chọn mua kết thúc trong tiền, bạn nhận được S − K. Φ(d) là xác suất điều đó xảy ra.

Piece 2: σ_n√T·φ(d) -- lớp đệm giá trị thời gian. Ngay cả khi spot gần giá thực hiện, sự bất định vẫn cho quyền chọn một cơ hội. Nhiều biến động hơn hoặc nhiều thời gian hơn làm tăng số hạng này.

Hãy so sánh với Black-Scholes: C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂). BS dùng ln(S/K) trong khi Bachelier dùng S−K. Log đó chính là toàn bộ sự khác biệt. Gần ATM, chúng đồng nhất.

Bachelier và Black-Scholes: So sánh song song

Bachelier (phân phối chuẩn)

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n·√T·φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Black-Scholes (phân phối log-chuẩn)

C = S·Φ(d₁) − K·Φ(d₂)

d₁ = (ln(S/K) + ½σ²T) / (σ·√T)

Giá spot (S)

$100

Giá thực hiện (K)

$105

Thời gian (T, năm)

0.25

Vol chuẩn (σ_n, $/năm)

$20

Giá Bachelier

$2.16

d = -0.500

Giá BS (σ_BS ≈ σ_n/S)

$2.37

σ_BS = 20.0%

Difference: $0.21 (9.7%) -- away from ATM, they diverge

Di chuyển giá strike ra xa giá giao ngay và quan sát hai mức giá tách nhau. Gần ATM chúng gần như giống hệt vì xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ log trùng nhau cục bộ. Xa OTM, hai mô hình khác nhau vì Bachelier cho phép giá âm còn BS thì không.

Phần 3

Normal vol so với BS vol

Chuyển đổi giữa hai bên rất đơn giản khi gần ATM: σ_n ≈ S · σ_BS. Một smile normal phẳng ánh xạ thành smile BS có skew vì cùng một biến động đô la lại là tỷ lệ phần trăm khác nhau ở mỗi mức strike.

Nếu giá giao ngay là $100 và BS vol là 30%, normal vol xấp xỉ $30. Nếu giá giao ngay giảm xuống $50, cùng $30 normal vol đó trở thành 60% theo BS. Trong thế giới Bachelier chẳng có gì thay đổi -- nhưng BS vol đã tăng gấp đôi.

Đây là lý do một smile Bachelier hoàn toàn phẳng (một normal vol cho mọi strike) tạo ra smile BS có skew. Với strike thấp, cùng một biến động đô la tương ứng tỷ lệ phần trăm lớn hơn. Với strike cao, tỷ lệ nhỏ hơn. Đường cong biến động ngụ ý BS nghiêng xuống từ trái sang phải.

Chuyển đổi gần ATM

σ_n ≈ S · σ_BS

σ_BS ≈ σ_n / S

Xấp xỉ này rất sát gần ATM nhưng kém dần với các strike OTM sâu. Chính sự suy giảm đó tạo ra skew biểu kiến sau khi chuyển đổi.

Phần tương tác bên dưới hiển thị hai góc nhìn của cùng một thị trường. Bachelier nói một mức vol. BS nói một đường cong. Không bên nào sai -- chúng là hai hệ tọa độ khác nhau cho cùng một tập giá quyền chọn.

Skew giả: cùng một mức giá, hai hệ tọa độ

Góc nhìn Bachelier phẳng

Góc nhìn BS có skew

Giá spot$100

Biến động normal$20

Biểu đồ bên trái không bao giờ thay đổi hình dạng. Nó luôn là một đường thẳng nằm ngang — theo Bachelier, chỉ có một mức biến động cho mọi giá thực hiện. Biểu đồ bên phải hiển thị cùng các mức giá quyền chọn đó khi ép qua công thức toán học Black-Scholes. Kéo thanh trượt giá spot và quan sát skew BS trở nên dốc hơn hoặc phẳng hơn. Thị trường không thay đổi. Chỉ có hệ tọa độ thay đổi.

Phần 4

Khi nào Bachelier là mô hình phù hợp

Bachelier là chuẩn ngành cho quyền chọn lãi suất, quyền chọn spread, và mọi sản phẩm có tài sản cơ sở có thể âm. Nó không phải mặc định phù hợp cho spot crypto -- nhưng lại hoàn hảo cho các sản phẩm basis và phí funding.

Lãi suất: Khi ECB đẩy lãi suất xuống âm năm 2014, Black-Scholes bị vô hiệu. Bạn không thể lấy log của số âm. Các bàn giao dịch lãi suất trên toàn thế giới chuyển từ báo giá lognormal sang normal chỉ sau một đêm. Vol của swaption giờ được báo bằng điểm cơ bản của normal vol, không phải phần trăm của lognormal vol.

Spread: Chênh lệch giữa hai mức giá vốn dĩ mang tính cộng. Calendar spread, giao dịch basis, hay spread liên tiền tệ đều có thể dương hoặc âm. Bachelier xử lý điều đó mà không cần thủ thuật.

Sản phẩm funding: Phí funding crypto dao động quanh mức 0 và có thể âm. Nếu bạn định giá quyền chọn trên phí funding, Bachelier là ngôn ngữ tự nhiên.

Spot crypto: Giá luôn dương và có hiệu ứng đòn bẩy (vol tăng khi giá giảm). Khung lognormal tự nhiên hơn ở đây. Dùng BS cho spot, Bachelier cho lãi suất và spread.

Đường giá cộng tính (Bachelier) vs nhân tính (BS)

Bachelier: dS = σ_n·dW

BS: dS = S·σ·dW

Số đường giá: 0Vượt qua mức 0: 0

Bachelier (nhiễu cộng tính, có thể xuống âm)BS (nhiễu nhân tính, luôn dương)

Bảng bên trái hiển thị các đường đi Bachelier: nhiễu cộng, đối xứng, và một số cắt qua mức 0. Bảng bên phải hiển thị các đường đi BS: nhiễu nhân, luôn dương, và phân phối có đuôi phải dài. Thêm đường đi và quan sát bao nhiêu đường Bachelier đi vào vùng âm -- đó là "lỗi" nhưng thực chất là ưu điểm với lãi suất.

Phần 5

Vấn đề skew giả

Nếu bạn báo giá một thị trường Bachelier theo Black-Scholes, bạn sẽ thấy skew không hề tồn tại. "Skew" đó chỉ là một phép biến đổi tọa độ. Đây là bài học quan trọng nhất của trang này.

Hãy hình dung một nhà tạo lập thị trường định giá quyền chọn với normal vol phẳng. Mọi strike đều nhận $20 normal vol. Không skew. Không smile. Một con số duy nhất.

Giờ một trader chuyển các mức giá đó sang biến động ngụ ý BS bằng một trình giải IV tiêu chuẩn. Quyền chọn strike thấp hiện BS vol cao hơn. Quyền chọn strike cao hiện BS vol thấp hơn. Trader thấy skew phía put và nghĩ rằng thị trường đang định giá rủi ro sụp đổ.

Nhưng thị trường này không hề có rủi ro sụp đổ. Skew là hệ quả nhân tạo của việc ép một thế giới normal qua lăng kính lognormal. Biến động $20 trên tài sản cơ sở $80 là 25% theo BS. Cùng biến động $20 đó trên tài sản cơ sở $120 chỉ là 16,7%. Phần trăm khác nhau, cùng một biến động đô la.

Skew giả: cùng một mức giá, hai hệ tọa độ

Góc nhìn Bachelier phẳng

Góc nhìn BS có skew

Giá spot$100

Biến động normal$20

Biểu đồ bên trái không bao giờ thay đổi hình dạng. Nó luôn là một đường thẳng nằm ngang — theo Bachelier, chỉ có một mức biến động cho mọi giá thực hiện. Biểu đồ bên phải hiển thị cùng các mức giá quyền chọn đó khi ép qua công thức toán học Black-Scholes. Kéo thanh trượt giá spot và quan sát skew BS trở nên dốc hơn hoặc phẳng hơn. Thị trường không thay đổi. Chỉ có hệ tọa độ thay đổi.

Điều này quan trọng trong thực tế vì:

Bạn có thể chẩn đoán sai skew. Nếu một bàn giao dịch lãi suất báo giá bằng normal vol và bạn chuyển sang BS, bạn sẽ thấy skew 100% là nhân tạo. Đừng giao dịch nó.

Liên hệ với SABR. Tham số beta của SABR quyết định vị trí của bạn trên phổ từ Bachelier đến BS. Beta = 0 là Bachelier thuần túy (normal). Beta = 1 là BS thuần túy (lognormal). Phần lớn "skew" bạn thấy ở beta = 0 theo BS chính là hiệu ứng tọa độ đó.

Quy tắc vàng: Trước khi giao dịch một skew, hãy tự hỏi đó là đặc điểm của thị trường hay của mô hình. Phẳng trong hệ tọa độ này có thể trông có skew trong hệ tọa độ khác.

Đọc tiếp:

Black-Scholes -- phiên bản lognormal đối ứng

Mô hình SABR -- dùng beta để chọn vị trí trên phổ normal-lognormal

Mô hình CEV -- nối normal và lognormal qua tham số beta

Skew -- tách hiệu ứng mô hình khỏi đặc điểm thị trường