Mô hình Bachelier (Normal)

Q: Tại sao Bachelier tạo ra smile phẳng còn Black-Scholes thì không?

Trong Bachelier, mọi quyền chọn được định giá bằng cùng một tham số normal vol -- không có sự phụ thuộc vào giá thực hiện trong mô hình. Smile phẳng theo cấu trúc. Black-Scholes cũng dùng một tham số, nhưng khi giá thực tế lệch khỏi giả định lognormal, biến động ngụ ý BS thay đổi theo giá thực hiện. 'Smile' trong BS không phải là đặc điểm thị trường -- nó là khoảng cách giữa thị trường và các giả định của mô hình BS.

Q: Nếu bạn lấy giá quyền chọn Bachelier và quy đổi sang biến động ngụ ý BS, bạn nhận được put skew. Skew đó đến từ đâu?

Nó đến từ mối quan hệ phi tuyến giữa biến động cộng tính và nhân tính. Trong Bachelier, một biến động 10laˋnhưnhauởmọimứcgiaˊ.TrongBS,mộtbie^ˊnđộng10 là như nhau ở mọi mức giá. Trong BS, một biến động 10laˋnhưnhauởmọimứcgiaˊ.TrongBS,mộtbie^ˊnđộng10 trên tài sản 80laˋbie^ˊnđộngpha^ˋntra˘mlớnhơnsovớitre^ntaˋisản80 là biến động phần trăm lớn hơn so với trên tài sản 80laˋbie^ˊnđộngpha^ˋntra˘mlớnhơnsovớitre^ntaˋisản120. Vì vậy biến động ngụ ý BS cho quyền chọn ở giá strike thấp (put) cao hơn quyền chọn ở giá strike cao (call). Skew là hệ quả của việc chuyển đổi mô hình, không phải của thị trường.

Q: Khi nào bạn nên dùng Bachelier thay vì Black-Scholes cho crypto?

Với bất kỳ sản phẩm phái sinh crypto nào mà tài sản cơ sở có thể âm: quyền chọn phí funding, quyền chọn basis (spot trừ futures), hoặc bất kỳ sản phẩm spread nào. Với quyền chọn crypto spot, BS tự nhiên hơn vì giá luôn dương và thể hiện hiệu ứng đòn bẩy. Bachelier là chuẩn mực cho lãi suất và spread.

Q: Mối quan hệ gần ATM giữa normal vol và BS vol là gì?

Normal vol xấp xỉ bằng BS vol nhân với giá spot: sigma_n xấp xỉ sigma_BS nhân S. BS vol 30% trên tài sản cơ sở 100tươngứngvớinormalvolkhoảng100 tương ứng với normal vol khoảng 100tươngứngvớinormalvolkhoảng30. Phép xấp xỉ này suy giảm khi rời xa ATM, và đó chính xác là lý do việc quy đổi giá Bachelier phẳng sang BS tạo ra một smile biểu kiến.

Bachelier (1900) là mô hình định giá quyền chọn đầu tiên -- ra đời trước Black-Scholes tới 73 năm. Biến động giá là cộng tính và tuân theo phân phối chuẩn. Thay vì mô hình hóa lợi suất phần trăm (lognormal), Bachelier mô hình hóa mức thay đổi bằng đô la (normal). Giá có thể âm -- một lỗi đối với chứng khoán vốn, nhưng lại là ưu điểm đối với lãi suất.

Mô hình có đúng một tham số: normal vol, được đo bằng giá trị tuyệt đối (ví dụ: "$50/năm" thay vì "30%/năm"). Không có smile. Nếu thế giới vận hành theo Bachelier, mọi quyền chọn ở tất cả các mức giá thực hiện đều có cùng một normal vol. Smile phẳng đó chính là dự đoán cốt lõi của mô hình.

💡

Skew có thể là sản phẩm phụ của mô hình

Bachelier tạo ra smile phẳng theo cấu trúc của nó. Chuyển các mức giá đó sang biến động ngụ ý Black-Scholes và bạn sẽ nhận được skew. Skew đó không tồn tại trong thị trường -- nó là hệ quả của việc áp toán học lognormal lên một thế giới có thể là normal.

Khám phá mô hình

Đường đứt nét màu xanh dương phẳng là góc nhìn của Bachelier: một mức vol cho tất cả các giá thực hiện. Đường cong màu xanh lá thể hiện cùng các mức giá quyền chọn đó được diễn đạt lại theo Black-Scholes. Hạ giá spot xuống và quan sát skew BS biểu kiến dốc lên -- mặc dù không có gì thay đổi trong thế giới Bachelier.

Trình khám phá Bachelier vs Black-Scholes

Thiết lập điển hình. Đường smile của Bachelier phẳng theo định nghĩa. Cùng các mức giá đó khi biểu diễn lại theo BS sẽ tạo ra skew.

Vol normal20

Biến động tuyệt đối theo $/năm (không phải phần trăm)

Giá giao ngay (S)100

Giá giao ngay thấp hơn = skew BS rõ hơn

Đường nét đứt màu xanh dương phẳng là góc nhìn của Bachelier: một mức vol cho mọi giá thực hiện. Đường cong màu xanh lá là cùng các mức giá quyền chọn đó được biểu diễn lại theo Black-Scholes. "Skew" là sản phẩm của mô hình, không phải đặc điểm của thị trường.

Vai trò của từng tham số

Normal vol: Tham số duy nhất. Được đo bằng đơn vị giá tuyệt đối mỗi năm (không phải phần trăm). Normal vol bằng 20 nghĩa là giá được kỳ vọng dịch chuyển $20 trong một năm (một độ lệch chuẩn). Tất cả các giá thực hiện đều nhận cùng mức vol này -- smile là phẳng.
Giá spot: Không làm thay đổi smile Bachelier (vẫn phẳng). Nhưng nó ảnh hưởng rất mạnh đến smile tương đương BS. Ở mức giá spot thấp hơn, cùng một biến động đô la sẽ tương ứng với biến động phần trăm lớn hơn, nên biến động ngụ ý BS tăng lên -- tạo ra put skew biểu kiến.

Tại sao "skew" BS xuất hiện

Điều gì xảy ra

Góc nhìn Bachelier

Góc nhìn BS

Định giá quyền chọn ATM

Normal vol áp dụng trực tiếp

Vol lognormal xấp xỉ normal_vol / spot

Quyền chọn bán OTM (giá strike thấp)

Cùng vol với ATM

IV cao hơn vì cùng biến động $ = biến động % lớn hơn ở mức giá thấp hơn

Quyền chọn mua OTM (giá strike cao)

Cùng vol với ATM

IV thấp hơn vì cùng biến động $ = biến động % nhỏ hơn ở mức giá cao hơn

Giảm giá spot

Smile vẫn phẳng

Toàn bộ đường cong dịch lên, cánh put dốc hơn

ℹ️

Beta của SABR chọn đường xương sống

Đường xương sống của SABR (smile khi tắt vol-of-vol) phụ thuộc vào beta. Beta = 0: Bachelier. Beta = 1: Black-Scholes. Beta quyết định bạn đứng ở đâu trên phổ normal-lognormal.

Bachelier được sử dụng ở đâu

Thị trường

Tại sao dùng Bachelier

Đơn vị normal vol

Swaption lãi suất

Lãi suất từng âm ở EUR, JPY, CHF. BS gãy tại mức 0. Bachelier thì không.

bps/năm (ví dụ: 50 bps)

Quyền chọn spread

Spread có thể âm. Mô hình cộng tính là tự nhiên.

$/năm hoặc bps/năm

Quyền chọn CDS

Spread tín dụng được mô hình hóa tự nhiên dưới dạng biến động cộng tính.

bps/năm

Crypto (thị trường ngách)

Quyền chọn phí funding hoặc quyền chọn basis nơi tài sản cơ sở có thể âm.

%/năm (tuyệt đối)

⚠️

Không dành cho quyền chọn crypto spot

Giá spot crypto luôn dương và thể hiện hiệu ứng đòn bẩy (vol tăng khi giá giảm). Khung lognormal (họ Black-Scholes) tự nhiên hơn ở đây. Bachelier là công cụ phù hợp cho lãi suất, spread, và bất cứ thứ gì có thể âm.

So sánh nhanh Bachelier và Black-Scholes

Bachelier

Black-Scholes

Động lực giá

Cộng tính (normal)

Nhân tính (lognormal)

Đơn vị vol

$/năm (tuyệt đối)

%/năm (tương đối)

Giá âm?

Có (theo thiết kế)

Không (log của số âm không xác định)

Hình dạng smile

Phẳng theo định nghĩa

Chỉ phẳng nếu thế giới thực sự là lognormal

Tham số

1 (normal vol)

1 (lognormal vol)

Quy đổi

σ_n ≈ σ_BS × S (gần ATM)

σ_BS ≈ σ_n / S (gần ATM)

Dùng cho

Lãi suất, spread, CDS

Cổ phiếu, FX, crypto spot

Công thức quy đổi

Gần ATM, bạn có thể quy đổi giữa hai mô hình:

\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S

Một tài sản ở mức $100 với BS vol 30% có normal vol xấp xỉ$ 30. Nhưng phép xấp xỉ này không còn chính xác khi rời xa ATM, và đó chính là lý do "smile" BS xuất hiện khi bạn quy đổi giá Bachelier.

💡

Smile phẳng theo định nghĩa

Bachelier coi biến động giá là cộng tính. Smile của nó phẳng theo định nghĩa. Skew xuất hiện sau khi quy đổi sang BS là sản phẩm phụ của lựa chọn mô hình, không phải là đặc điểm của thị trường.

Khám phá phương trình

Trình khám phá phương trình

Giá giao ngay (S)

Giá thực hiện (K)

Số ngày đến đáo hạn

ngày

Lãi suất phi rủi ro

Biến động ngụ ý (σ)

Giá call

$8300

Giá put

$7890

Δ của call

0.555

d₁

0.102

Vega

$114

Kiểm tra hiểu biết của bạn trước khi tiếp tục.

Q: Tại sao Bachelier tạo ra smile phẳng còn Black-Scholes thì không?

Q: Nếu bạn lấy giá quyền chọn Bachelier và quy đổi sang biến động ngụ ý BS, bạn nhận được put skew. Skew đó đến từ đâu?

Q: Khi nào bạn nên dùng Bachelier thay vì Black-Scholes cho crypto?

Q: Mối quan hệ gần ATM giữa normal vol và BS vol là gì?

💡 Mẹo: Hãy thử trả lời từng câu hỏi trước khi xem đáp án.

Xây dựng trực giác toán học

Học Bachelier từ đầuBài học tương tác · không cần kiến thức nền

Bài học này bắt đầu với mô hình tư duy bằng ngôn ngữ dễ hiểu, sau đó đi qua biến động normal, công thức định giá, và lý do tại sao một smile normal phẳng có thể xuất hiện dưới dạng skew sau khi bạn chuyển nó sang Black-Scholes.

Xem thêm:

Black-Scholes -- Mô hình lognormal đối ứng
Mô hình CEV -- Cầu nối giữa normal và lognormal qua tham số beta
Mô hình SABR -- Dùng beta để chọn vị trí trên phổ normal-lognormal
Displaced Diffusion -- Một cách khác để xử lý tài sản cơ sở gần mức 0
Biến động ngụ ý -- Khái niệm phụ thuộc vào mô hình bạn chọn
Skew -- Phân biệt sản phẩm phụ của mô hình với đặc điểm thị trường

Skew có thể là sản phẩm phụ của mô hình

Khám phá mô hình​

Trình khám phá Bachelier vs Black-Scholes

Vai trò của từng tham số​

Tại sao "skew" BS xuất hiện​